Serie numerique: besoin de correction

[juve1897]

Bonjour,

j'etudie la nature de certaines series , mais j'ignore si mes reponses sont justes.

Si quelqu'un avait la gentillesse de me corriger ça serait sympa.

Merci.

1) Sum e^-n / n

On a e^-n / n= 1/ (e^n * n)

La serie de terme general 1/ (e^n * n) est à terme positif, on peut donc utiliser le theoreme d'Alembert.

Un+1 / Un =(e^n * n) / (e^(n+1) * (n+1))
= n/ (e * (n+1))= 1/e * n/(n+1) = 1/e * 1/ (1+1/n) = 1/e^2

On peut en conclure que la serie est convergente vers 1/e^2

2) Sum (-1)^n / n!

Cette serie est alternée, donc pour montrer la convergence il faut

|un| -> 0 en +oo
ET
|un| decroissante

Pour verifier si |un| est decroissante il faut calculer |Un+1- Un|

|Un+1 - Un| = |1/ n+1 ! - 1/ n!|
= |(n! - (n+1)!) / n!(n+1)! |
= n/ (n+1)! 0 en +oo

On peut conclure que la serie est convergente.


3) Sum 1/ (n * (n+1))

La suite 1/ (n * (n+1)) est à terme postif, on peut donc utiliser le theoreme d'Alembert.

| un+1 / un| = (n+1)(n+2)/ n(n+1)
= n+2 / n
= n(1+2/n) / n
= 1+ 2/ n
= (1+1/n) + 1/n
= e + 1/n -> e en +oo

Donc cette serie est convergente vers e

[kazeriahm]

les réponses sont justes mais c'est pas parce que |u_n+1/u_n| tend vers l que la somme des u_n vaut l !!

[juve1897]

les réponses sont justes mais c'est pas parce que |u_n+1/u_n| tend vers l que la somme des u_n vaut l !!

Merci une fois de plus .

JE n'ai pas ecrit que Sum un = lim un ??? SI ?

Lol sinon j'aimerai savoir si il existe une methode precise pour calculer Sum un .

Car j'ai pu lire que certaine etaient connu comme

Sum (-1)^x+1 / x = ln 2


Ou j'ai pu trouver des Sum un simplifiées comme

Sum k^x/ k! = e^x

Sum (-1)^k * x^(2k+1) / 2k+1

Hormis cela je ne connais aucunes autre astuces.

[juve1897]

ATTENTION

je viens de voir sur un site que

c'est en fait (1+1/x)^x = e et non pas (1+ 1/x) comme j'ai pu l'ecrire en haut.

Mon exercice est donc faux ????

Et pour le 3) j'ai ecrit que |un+1 / un| -> e en +oo <=> S un est convergente ...

ce qui est faux car d'apres la regle d'Alembert si l> 1 alors la serie diverge donc dans mon cas la serie ne converge pas , elle diverge.