Série et majoration

[smartynina]

Bonjour,

Évidence ou petites astuces, je n'arrive pas à voir comment résoudre ces deux petits problèmes. :mur: Un volontaire pour me guider ?

Voici les deux questions :

Comment montrer que la série de terme général : exp( -a*n^b), où a et b sont des réels positifs, est convergente.

Montrer que 1/2(exp(-t)+exp(t)) < e(t²/2)

Merci

[girdav]

Salut,
pour la première question, on peut se dire qu'intuitivement l'exponentielle va écrabouiller tous les polynômes.
Il reste à le traduire rigoureusement, par exemple par une comparaison série-intégrale.

[Finrod]

La fonction de gauche est le cosinus hyperbolique.

ça me laisse perplexe. IL doit y avoir une méthode simple et je ne voie pas.

A dééfaut, il y a une méthode très compliquée.

utiliser la fonction inverse du cosinus hyperbolique (cf la page wikipedia par ex, elle est croissante) et faire un dl pour regarder le signe du termes qui suit le "t".

edit: et le résultat est seulement local...

[Doraki]

En mettant exp sous sa forme de série entière, ça passe bien.