Série de Fourier

[Babe]

Bonjour,

je galère pour résoudre ce problème qui doit être plutôt trivial pour les matheux. Je suis en filière physique donc si vous pouvez évitez les gros théorème d'artillerie lourde :ptdr:

Démontrez que les fonctions, 1, , ,... , ...
constitue une base orthogonale dans

merci d'avance pour votre aide

[leon1789]

Qui dit orthogonalité, dit produit scalaire. Tu connais le produit scalaire <.,.> en question ?

La première chose à faire est de vérifier que les éléments donnés sont orthogonaux et de norme 1 pour <.,.>

[Babe]

j'ai calculé qui donne bien 0
de même
après j'ai un souci pour quand m=n il y a un problème non ?

[leon1789]

après j'ai un souci pour quand m=n il y a un problème non ?

oups, j'ai gaffé : on demande de prouver que la famille est orthogonale et non orthonormale, donc il n'y a pas à étudier le cas où m=n.

(En fait, les éléments de la famille sont de norme L/2, sauf 1 qui est de norme L)

Bref, il faut démontrer que
pour tout n>0 (ça, c'est ok pour toi),
pour tout n>0 (ça, c'est ok pour toi),
lorsque ,
lorsque ,
pour tous ,



As-tu une idée ?

[Babe]

oups, j'ai gaffé : on demande de prouver que la famille est orthogonale et non orthonormale, donc il n'y a pas à étudier le cas où m=n.

(En fait, les éléments de la famille sont de norme L/2, sauf 1 qui est de norme L)

Bref, il faut démontrer que
pour tout n (ça, c'est ok pour toi),
pour tout n (ça, c'est ok pour toi),
lorsque ,
lorsque ,
pour tous ,



As-tu une idée ?

j'ai linéarisé les produit en somme, c'est la bonne méthode non ?

[Babe]

en algèbre en dimension fini, on montre que E est une base si la famille est libre et génératrice
pour mon cas, après avoir montré que les fonctions qui forment la base sont orthogonal entre elles, puis je conclure directement?
c'est le fait que l'on soit en dimension infini qui me bloque ? il n'y a pas un autre argument au sujet de la dimension ?

[leon1789]

j'ai linéarisé les produit en somme, c'est la bonne méthode non ?

oui, avec la formule d'Euler par exemple si tu ne connais pas les formules trigo ad hoc.

[leon1789]

en algèbre en dimension fini, on montre que E est une base si la famille est libre et génératrice
pour mon cas, après avoir montré que les fonctions qui forment la base sont orthogonal entre elles, puis je conclure directement?
c'est le fait que l'on soit en dimension infini qui me bloque ? il n'y a pas un autre argument au sujet de la dimension ?

Là, on est visiblement en dimension infinie puisqu'il y a un tas de fonctions de carré intégrable. En fait, il faut démontrer que tes éléments forment une base "hilbertienne" : connais-tu des résultats de convergences sur les séries de Fourier ?

[Babe]

euh non la ca doit dépasser mes compétences
aprés avoir montré l'orthogonalité, ne faut il pas montrer la complétude ?
c'est une notions que je ne maitrise que peu alors dsl si je dis des grosses betises

[Babe]

disons que je sois sorti vainqueur de cet étape avec leon1789 qui m'a soufflé la réponse, j'ai donc ma base

je peux donc decomposer ma fonction dans la base
ca y est j'ai un truc sympathique que l'on appelle série de Fourier

et là je veux calculer mes coefficients a_0 , a_n et b_n
je fais donc le produit scalaire de ma fonction avec ma base
jusque là je pense avoir bien compris

c'est juste le 1/L devant l'integrale pour calculer a_0 et les 2/L devant les integrales pour a_n et b_n qui me chagrine un peu
servent ils à normaliser du fait que la norme de 1 vaut L et la norme des cos et sin vaut L/2 ?

[leon1789]

c'est juste le 1/L devant l'integrale pour calculer a_0 et les 2/L devant les integrales pour a_n et b_n qui me chagrine un peu
servent ils à normaliser du fait que la norme de 1 vaut L et la norme des cos et sin vaut L/2 ?

exactement.

Quelle fonction as-tu décomposée sur la base orthogonale ? (base orthogonale qui devient orthonormale via les 1/L et 2/L ...)

[Babe]

exactement.

d'accord :id:

quelles fonctions as-tu décomposée sur la base orthogonale ?

c'est a dire ? j'ai pris une fonction f(x) qui s'ecrira dans ma base

[leon1789]

j'ai pris une fonction f(x) qui s'ecrira dans ma base

Tu vois, l'égalité entre f et sa série de Fourier n'est pas assurer automatiquement : il faut une preuve... et c'est ça, le caractère hilbertien de la base. Tu vois ?

[Babe]

Tu vois, l'égalité entre f et sa série de Fourier n'est pas assurer automatiquement : il faut une preuve... et c'est ça, le caractère hilbertien de la base. Tu vois ?

a ok et que signifie caractere hilbertien de la base ?
pour un moi un espace de Hilbert c'est un espace euclidien (réel ou complexe) qui peut etre de dimension infini, c'est cela ?

[leon1789]

a ok et que signifie caractere hilbertien de la base ?

En algèbre linéaire, une base est une famille libre et génératrice. Génératrice signifie que tout vecteur de l'EV s'écrit comme combinaison linéaire finie d'éléments de la famille (dimension finie ou infinie).

Là, ta famille des cos et sin est libre (c'est une conséquence de l'orthogonalité), mais en général, une fonction de L2(I) n'est une combinaison linéaire finie d'éléments de la famille. Il faut faire une somme infinie, une série quoi ! Là, on quitte l'algèbre linéaire classique pour entrer dans le monde hilbertien... tein tein tein...

Du coup, rien ne dit que ta famille est génératrice au sens "hilbertien" (avec une série). En fait, en général, on n'a pas l'égalité pour tous les . Il y a des théorèmes qui traitent du problème : par exemple, si f est continue, c'est ok. etc.

[Babe]

En algèbre linéaire, une base est une famille libre et génératrice. Génératrice signifie que tout vecteur de l'EV s'écrit comme combinaison linéaire finie d'éléments de la famille (dimension finie ou infinie).

Là, ta famille des cos et sin est libre (c'est une conséquence de l'orthogonalité), mais en général, une fonction de L2(I) n'est une combinaison linéaire finie d'éléments de la famille. Il faut faire une somme infinie, une série quoi ! Là, on quitte l'algèbre linéaire classique pour entrer dans le monde hilbertien... tein tein tein...

Du coup, rien ne dit que ta famille est génératrice au sens "hilbertien" (avec une série). En fait, en général, on n'a pas l'égalité pour tous les . Il y a des théorèmes qui traitent du problème : par exemple, si f est continue, c'est ok. etc.

oui, le prof nous a dit:
"on prend f continue presque partout et ne me demandez pas pourquoi "presque" "

une derniere question et apres j'arrete de vous embetez
en algbre linéaire classique, pour orthonormaliser on divise par la norme
pourquoi là on divise par la norme au carré ?

[leon1789]

oui, le prof nous a dit:
"on prend f continue presque partout et ne me demandez pas pourquoi "presque" "

le "presque" signifie que l'ensemble des points de discontinuité est un ensemble négligeable, très petit, insignifiant en intégration, précisément de mesure nulle.

en algbre linéaire classique, pour orthonormaliser on divise par la norme
pourquoi là on divise par la norme au carré ?

ah oui, tiens, L et L/2 sont les carrés des normes des éléments de la base ! Je n'ai pas fait attention...

Quand on fait de la projection (via un produit scalaire) comme ici, il faut prendre une base orthonormée, c'est plus simple.
En fait, le "bon" produit scalaire est , comme ça ta famille est orthonormée ! (sauf 1...)

[Babe]

le "presque" signifie que l'ensemble des points de discontinuité est un ensemble négligeable, très petit, insignifiant en intégration, précisément de mesure nulle.

merci (je prefere ca que presque ^^)

ah oui, tiens, L et L/2 sont les carrés des normes des éléments de la base ! Je n'ai pas fait attention...

Quand on fait de la projection (via un produit scalaire) comme ici, il faut prendre une base orthonormée, c'est plus simple.
En fait, le "bon" produit scalaire est , comme ça ta famille est orthonormée ! (sauf 1...)

là je n'ai pas compris
si je calcule la norme de cos(...) ou de sin(....) je trouve racine(L/2) donc pour orthonormaliser je diviserai par racine(2/L)
l

[leon1789]

là je n'ai pas compris
si je calcule la norme de cos(...) ou de sin(....) je trouve racine(L/2) donc pour orthonormaliser je diviserai par racine(2/L)
l

oui, on divise par la norme qui est racine(L/2).

on calcule le coefficient du normalisé et
Ensuite, on utilise la formule dans une B.O.N.

(j'oublie le vecteur 1 de la base...)

Ben, on retrouve la même formule qu'avec tes et initiaux car les et sont égaux aux et multipliés par ! Non ?

[Babe]

oui, on divise par la norme qui est racine(L/2).

on calcule le coefficient du normalisé et
Ensuite, on utilise la formule dans une B.O.N.

(j'oublie le vecteur 1 de la base...)

Ben, on retrouve la même formule qu'avec tes et initiaux car les et sont égaux aux et divisés par ! Non ?

ok mais alors pourquoi le cos et le sin ne sont pas divisé par L/2 lorsque les a_n et b_n le sont, ca ne revient pas au même
dans vote exemple en remplacant les d_n et e_n on a racine(L/2)xracine(2/L) qui s'annule donc ok mais pas pour ma formule