Serie de fourier

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Krampish
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Serie de fourier

par Krampish » 21 Jan 2023, 19:29

Bonsoir à vous tous.

Je vous propose le problème suivant.

Soit la fonction f(t) = t avec t compris entre-2 et 2, ayant une période T=4s.

1. Calculer la fréquence V0 et la pulsation w0 dre la fonction
2. Tracer la courbe sur l'intervalle -2T et 2T
3. Cette fonction est elle paire impaire.
4. Que pouvons déduire de la valeur des coefficients an et bn
5. A l'aide d'intégration par partie calduler bn
6. Tracer le spectre d'amplitude pour n<6 en donnant les fréquence de chaque raie.
7. Donnez le développement de f(t) de fourier pour n<6

Je trouve.

1. V0= 1/4=0 25 Hz
W0= 2pi/4 =1.57 rad/s

2.
Je trace la courbe sur l'intervalle [-2T, 2T] qui revient à [-8,8].
J'obtiens un droite passant par l'origine.
Qui se répète.

3.
La fonction est impaire car f(x) =-f(x)

4. On peut deviner que an=0 et BN = 4/T intégrale de 0 à 4 f(t) sin (nwt) dt.


Calcul de w = 2.pi/4=pi/2

Après l'intégration par partie je trouve
=(- 4(2cos(2pi.n)-2sin(2pi.n))/n.pi

6. B1=-2.6
B2=-1.31
B3=-0.87
B4=-0.64
B5=-0.50
B6=-0.40

7. F(t) = - 2.6 sin (wt) - 1.31sin(2wt)...-0.40sin(6wt).

Merci...



Krampish
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Re: Serie de fourier

par Krampish » 23 Jan 2023, 11:58

Bonjour tout le monde.

Est ce si faux que ça + ??

Espérant que vous allez bien.

Cordialement

Doraki
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Re: Serie de fourier

par Doraki » 23 Jan 2023, 13:32

Lors du calcul de B1, normalement tu devrais intégrer quelquechose de positif, donc je suis perplexe devant ton résultat négatif.

Sinon, ça vaut combien sin(2pin) et cos(2pin) ?

catamat
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Re: Serie de fourier

par catamat » 24 Jan 2023, 17:45

Bonjour
Krampish a écrit:2.
Je trace la courbe sur l'intervalle [-2T, 2T] qui revient à [-8,8].
J'obtiens un droite passant par l'origine. segment de droite
Qui se répète.

3.
La fonction est impaire car f(x) =-f(x)

4. On peut deviner que an=0 oui
et BN = 4/T intégrale de 0 à 4 f(t) sin (nwt) dt. erreur c'est 2/T devant l'intégrale et pour les bornes de l'intégrale il vaut mieux utiliser -2 et 2 car f(t) n'est pas égale à t sur[2;4]


Calcul de w = 2.pi/4=pi/2 oui

Après l'intégration par partie je trouve
=(- 4(2cos(2pi.n)-2sin(2pi.n))/n.pi à rectifier en tenant compte des remarques précédentes


De plus on porra utiliser ceci :
pourn entier
1 si n est pair et -1 si n est impair
donc

Krampish
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Re: Serie de fourier

par Krampish » 28 Jan 2023, 10:57

Bonjour
Tout d'abord merci pour ton aide.

Après les remarques je trouve que
Bn=-4cos(n.pi)-4cos(-n.pi)(n.pi) / 2(npi)^2

Mais j'ai un gros doute

catamat
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Re: Serie de fourier

par catamat » 28 Jan 2023, 13:31

Bonjour

Cela ressemble mais il doit y avoir une erreur...

voyons les résultats intermédiaires

Posons


Soit et v'(t)=
donc et v(t)=

d'où

D'accord jusque là ?
La dernière intégrale est en fait égale à zéro.

Krampish
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Re: Serie de fourier

par Krampish » 28 Jan 2023, 13:55

Je vais écrire comment j'ai fait.

Je ne trouve pas mon erreur.

Bn=1/2 intégrale entre-2 et 2 t.sin(n.pi.t/2)dt

Poir l'intégration par partie je pose.

V'=1
V= t
U'=sin(npit)
U=-2/npi.cos(npit/2)

=[uv] - intégrale u'. v
=[-2/n.pi cos(npi.t/2)*t] - intégrale -2/npi.cos(npit/2)
=[-2/n.pi cos(npi.t/2)*t] + 2/n.pi [2/n.pi.sin(n.pi.t/2)]

= - 4/n.pi(cos(n.pi)+cos(-n.pi) + 2/n.pi (2/n.pi.sin(n.pi)-2/n.pi.sin(-n.pi)
=-4/n.pi(cos(n.pi)+cos(-n.pi) + 2/n.pi +(4sin(npi)-4sin(-n.pi)/(n.pi)^2

Je multiple par 1/2
=(-4/n.pi. cos(n.pi)+cos(-n.pi) + 2/n.pi +4sin(n.pi)-4sin(-n.pi))/((n.pi)^2) *1/2

catamat
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Re: Serie de fourier

par catamat » 28 Jan 2023, 16:21

Krampish a écrit:Je vais écrire comment j'ai fait.

=[uv] - intégrale u'. v
=[-2/n.pi cos(npi.t/2)*t] - intégrale -2/npi.cos(npit/2)
=[-2/n.pi cos(npi.t/2)*t] + 2/n.pi [2/n.pi.sin(n.pi.t/2)]

= - 4/n.pi(cos(n.pi)+cos(-n.pi) + 2/n.pi (2/n.pi.sin(n.pi)-2/n.pi.sin(-n.pi) Ok jusque là même s'il manque parfois des parenthèses...


Mais ensuite il faut se débarrasser de et de qui sont nul (comme déjà dit le 24 janvier...)

De plus
à terminer...

Krampish
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Re: Serie de fourier

par Krampish » 28 Jan 2023, 18:00

Bonsoir,

J'arrive au résultat suivant.

Bn=( 4^n)/(n.pi)

catamat
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Re: Serie de fourier

par catamat » 28 Jan 2023, 23:45

Pas tout à fait
-4(-1)^n/(n pi)

 

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