Série Fourier- Algebre[résolu]

[Narhm]

Bonjour,
je viens d'aborder en cours d'algebre les séries de fourier et il y a un passage que je ne saisis pas très bien.
On considere donc l'espace vectoriel des applications continues de dans R.
C'est un espace préhilbertien avec le produit scalaire suivant :

On définit les applications ; et .
On doit bien montrer que la base est une base orthogonal pour pouvoir projeter dessus.
Je ne comprends pas car pour montrer ceci, il faut montrer que :
-La famille est orthogonale, de meme pour et que tous les sont orthogonaux au . Est ce tout ?
Si oui , on a bien trouvé un sous espace vectoriel de E nommons le = Vect{ sur lequel on peut projeter tout application ?

[tize]

Bonjour,

On doit bien montrer que la base est une base orthogonal

C'est une base ? Oui mais de quoi ? Pas de ou alors il ne faut pas s'arrêter à n et préciser "base hilbertienne"...
En général on montre que est une famille orthonormée : avec le produit scalaire
D'après ce que j'ai compris dans ton problème, tu veux juste montrer que la famille est orthogonale : pour tout et pour ...mais ce n'est pas cela qui implique que l'on ait "trouvé un sous espace sur lequel on peut projeter", on aurait pu projeter sur sans se soucier de savoir si est une famille orthogonale...

[Narhm]

Bonjour Tize,
Oui je me suis mal exprimé, excusez moi, je voulais montrer que mon sous espace vectoriel est bien engendré par une famille orthogonale.
Je souhaite savoir si en montrant que pour tout suffisait pour affirmer que est un sev de base orthogonale (e_1,...,;)_1,...,;)_n).
Ensuite je pourrais projeter une fonction de C(0,) sur ce sous espace vectoriel en utilisant mes formules de projection orthogonale.

[tize]

Oui car une famille othogonale est nécessairement libre (facile à montrer) et comme cette famille est génératrice (par construction) c'est donc bien une base orthogonale de .

[Narhm]

D'accord, je te remercie pour ton aide Tize .

Au revoir : )