Ex de série de fonction alternée avec pb de dérivabilité en0

[acteon]

Bonjour, je m'intéresse à la dérivabilité en 0 de la somme F de la série de fonction de terme général:

synthèse de mes résultats
1) F est bien définie sur R+ par critère spécial des séries alternées
2) la continuité aussi, par CVU en majorant uniformément le reste par 1/sqrt(n+1) (meme théorème)
3) quand on dérive: on obtient f_n'(x) =
la série des fn'(0) diverge grossièrement mais en théorie cela ne suffit pas pour conclure à la non dérivabilité
Par ailleurs:
- il n'y a plus CVU des dérivées donc pas de théorème bien sûr (et sinon d'ailleurs la somme précédente convergerait)
- à cause du caractère alterné, il me semble difficile d'essayer d'utiliser un théorème de limite monotone à f' (j'ai même essayer de regrouper les termes 2 par 2 mais pas de surprise f' n'est pas monotone près de 0) ou a (f(x)-f(0)) /x (en plus f(0) n'est pas non nul)
- par ailleurs pas de comparaison série intégrale non plus à cause du (-1)^n ..

Voilà..quelqu'un a une idée? je précise, je ne sais pas s'il y a une issue simple à cet exercice, je l'ai "inventé" en essayant de rectifier un énoncé qui me semblait faux , et par ailleurs je me suis rendu compte que je n'avais pas rencontré beaucoup d'exemples de problème local, devant se résoudre sans les théorèmes usuels, pour des séries alternées.

Merci si quelqu'un s'y intéresse!

[Kolis]

Bonjour !
Il y a convergence normale de la série des dérivées sur lorsque .
On peut donc dériver terme à terme sur et .
En regroupant les termes deux par deux on fait apparaître la série avec .
C'est une série de fonctions négatives au voisinage de divergente pour .

Ne pourrait-on pas en déduire que a pour limite donc non dérivable en 0 ?

[acteon]

Hello merci pour ta réponse mais je ne pense pas que ça soit exact, j'avais essayé comme ça et si on reprend ton calcul, l'expression est négative si et seulement si et donc il n'y a pas de voisinage de 0 tel qu'elles soient toutes négatives :-S

[acteon]

ça marcherait peut-être en montrant qu'à x fixé même proche de 0 ce sont les premiers termes de la somme qui comptent et ceux là sont négatifs. Mais ça sent les epsilons ...

[aviateur]

Bonjour
Je pense que f est dérivable en 0. En tout cas c'est vrai si f'(x) admet une limite quand x tend vers 0 (ceci par le th des A.F).
Maintenant c'est assez facile de voir que f' décroit donc il suffit de montrer que f' est majoré.
Or si x>0, on doit pouvoir trouver un majorant indépendant de f'(x) car il est la somme de termes dont le signe change.
Pour info

[acteon]

je ne sais pas s'il y a un truc évident que je ne vois pas mais perso pour la décroissance de f' (signe de f'') je tombe sur le même problème que le signe de f', c'est-à-dire, après groupement des termes deux à deux on a une somme de termes qui ne sont pas tous de même signe au voisinage de 0, car on tombe sur le même genre de condition que pour le signe de f' (changement de signe à un point du genre 1/n ...)
Merci pour l'info numérique par ailleurs

[aviateur]

Rebonjour
En fait l'idée de la solution devrait venir de ceci: au signe près , en posant z=-exp(-x), f'(x) s'exprime sous la forme d'une série entière qui est
Son rayon de convergence est R=1. On s'intéresse alors à la limite de f(z) quand z tend vers -1.
Pour cela on s'intéresse au prolongement analytique f(z) en cherchant une expression intégrale
de f(z).

[Kolis]

Etant donné l'heure, merci de vérifier cette démarche !
Soit .
Dans le but d'utiliser la transformation d'Abel, .




d'où par limite pour ,
Edit à 0935 : il me semble qu'il manque un devant le dernier "sigma".
la série obtenue est cette fois une série alternée "standard" et il y a convergence uniforme sur un intervalle contenant 0.

Par conséquent a une limite finie en 0, ce qui sufit pour la dérivabilité !

[acteon]

Bonjour à tous et merci pour vos idées!
En particulier à Kolis, j'ai repris le calcul, à peine différemment en utilisant que b_0 = 0 et donc en le mettant indifféremment dans la somme, bref je trouve bien pareil, avec effectivement le exp(-x) en facteur de la somme.
Par ailleurs, on a une confirmation numérique car la somme obtenue pour x=0 coïncide avec le résultat donné par aviateur à l'aide de la fonction zeta
Bien vu, jolie application de la transformation d'Abel.
Merci à tous et bonne journée

[aviateur]

Bonjour
J'ajoute la remarque suivante sur la limite de f'(x) quand x tend vers 0. En ayant posé z=-exp(-x), la limite de f'(x) quand x tend vers 0 c'est aussi la limite de quand z tend vers -1. Je laisse tomber le signe - et je pose
Formellement cela tend vers
Bien sûr cela na pas de sens. Mais si je considère
qui a un sens pour Re(s)>0. On montre aisément que où
est la fonction zêta de Riemann ayant un sens pour Re(s)>1.
Maintenant cette fonction de Riemann admet un prolongement analytique sur un domaine contenant
s=-1/2. Il en est de même pour h_s. Notre limite est donc
Bien sûr cela se démontre et l'existence de la dérivée est incluse dans la démonstration.