Série entière

[ComeDuRondeau]

Bonjour,

Sait-on exprimer la série entière à l'aide des fonctions usuelles ?
En évaluant en on peut voir que c'est équivalent à exprimer mais je ne sais pas l'exprimer elle non plus.

Merci d'avance.

[Ben314]

Salut,
.



Sait-tu résoudre cette équation différentielle ?

[ComeDuRondeau]

Non, je ne sais pas la résoudre. En faisant une variation de la constante en posant je tombe sur que je ne sais pas primitiver... Tu sais faire ?

En fait je suis tomber sur cette série justement en essayant de résoudre une équation différentielle haha. Il s'agit de

J'ai déjà trouvé comme solution à l'aide de séries entières et je me demandais si je pouvais expliciter une autre solution pour avoir une base mais je n'y arrive pas.

Ça n'est pas très important de toute façon je n'ai besoin que de la première que j'ai déjà trouvé, la seconde c'était pour satisfaire ma curiosité !

[Ben314]

Non, la primitive d'une telle fonction ne s'exprime pas à l'aide des fonctions vraiment usuelles, mais peut s'exprimer à l'aide de la "fonction d'erreur" erf de Gauss ( https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_d%27erreur) qui est relativement classique, surtout en proba/stat. vu que c'est (quasi) la fonction de répartition de la loi normale.

Sinon, j'ai modifié mon premier message vu que c'était pas la peine de rendre 4n-2 : 2n-1 suffisait largement.
Mais ça ne change rien concernant l'équation différentielle : elle est plus simple, mais on ne peut pas exprimer la solution sans "fonction spéciale" (en l’occurrence la fonction erf)

[ComeDuRondeau]

Ok, merci beaucoup pour tes réponses ! En voyant la tête de la série entière je me doutais un peu qu'on ne pourrait pas l'écrire à l'aide des fonctions usuelles mais en même temps je trouvais ça étonnant que pour une même équation différentielle on puisse exprimer certaines solutions à l'aide des fonctions usuelles et pas les autres !

Merci encore !!

[Ben314]

Sinon, une fois que tu as une solution de ton équation différentielle d'ordre 2, tu peut poser (où est une fonction) et injecter ça dans l'équation : tu obtient une équation d'ordre 2 mais sans donc d'ordre 1 en .
Et là, comme par hasard, tu retombe sur le même problème, à savoir que tu peut calculer mais pas remonter à sans utiliser la fonction d'erreur.