j'ai la fonction
on me demande de trouver à l'aide du produit de cauchy
sachant que j'ai écrit les deux développement des "composantes de l'exponentielle"
comment faire ce produit sachant que l'une des série est lacunaire paire ? ca me dérange
merci
Série entière
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série entière
par magalicantat » 01 Fév 2016, 23:28
bonjour
j'ai la fonction=e^{-zx-\frac{x^2}{2}})
on me demande de trouver à l'aide du produit de cauchy
telle que =\sum_{n=0}^{+\infty}A_n(z)x^n)
sachant que j'ai écrit les deux développement des "composantes de l'exponentielle"
^n}{n!} x^n)
^n}{2^nn!}x^{2n})
comment faire ce produit sachant que l'une des série est lacunaire paire ? ca me dérange
merci
j'ai la fonction
on me demande de trouver à l'aide du produit de cauchy
sachant que j'ai écrit les deux développement des "composantes de l'exponentielle"
comment faire ce produit sachant que l'une des série est lacunaire paire ? ca me dérange
merci
Modifié en dernier par magalicantat le 02 Fév 2016, 21:01, modifié 1 fois.
Re: série entière
par Robot » 02 Fév 2016, 00:30
Tu en as oublié en cours de route dans ta deuxième série.
Re: série entière
par magalicantat » 02 Fév 2016, 19:30
il manque un mot dans ta phrase non ?
et je ne vois pas quoi
et je ne vois pas quoi
Re: série entière
par Robot » 02 Fév 2016, 20:20
Nan, il manque un terme dans ta formule (précisément dans le développement en série de 
).
Re: série entière
par Ben314 » 02 Fév 2016, 20:25
Salut,
Je vois pas quel "mot" il manque dans la phrase de Robot.
Par contre je vois très bien ce que tu as oublié en cours de route dans ta deuxième série : les divisions par factorielle n.
Et sinon, je comprend pas trop ce que ça change qu'une de tes séries soit "lacunaire paire".
Si ce que tu appelle le "produit de Cauchy" désigne le produit des deux séries, tout ce qu'il y a a savoir, c'est que, modulo la somabilité de tout les bidules,
\times\Big(\sum_{j\in J}b_j\Big)=\sum_{(i,j)\in{I\times J}}a_ib_j)
C'est ce qu'on appelle communément "développer un produit" depuis le Collège (bon, d'accord, au Collège on se limite légèrement au cas fini...)
Je vois pas quel "mot" il manque dans la phrase de Robot.
Par contre je vois très bien ce que tu as oublié en cours de route dans ta deuxième série : les divisions par factorielle n.
Et sinon, je comprend pas trop ce que ça change qu'une de tes séries soit "lacunaire paire".
Si ce que tu appelle le "produit de Cauchy" désigne le produit des deux séries, tout ce qu'il y a a savoir, c'est que, modulo la somabilité de tout les bidules,
C'est ce qu'on appelle communément "développer un produit" depuis le Collège (bon, d'accord, au Collège on se limite légèrement au cas fini...)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: série entière
par magalicantat » 02 Fév 2016, 20:59
oui mais alors justement comment fait on ici vu que j'ai des sommes infinies ? je suis resté au niveau collège
il faut laisser le terme)
sous forme d'une somme ? ou l'expliciter de façon explicite et "belle"
il faut laisser le terme
Re: série entière
par Ben314 » 02 Fév 2016, 21:38
Concernant le fait que tes sommes soient infinie, là faut effectivement avoir un minimum de "bagage" qui consiste, dans le cas présent à savoir que le produit de deux séries entières, si on "développe", ça fait une série entière de rayon de C.V. au minimum le plus petit des deux rayon de C.V. de départ (éventuellement plus grand)
C'est évident si on a vu le résultat équivalent concernant les séries numériques absolument convergentes, mais comme c'est pas toujours le cas, c'est dés fois dans ce contexte là qu'on démontre pour la première fois un résultat de ce type (pas super long à établir, mais c'est quand même pas du "une simple ligne suffit")
Sinon, j'ai pas fait le moindre calculs, mais ça mange pas de pain de dire que :
- Déjà tu commence par l'exprimer les An sous forme de somme.
- Puis, en fonction de la "tronche" des An, du temps que tu as, de ton humeur, etc... tu peut éventuellement chercher à la simplifier, mais faut pas compter que ça marche "à tout les coups" (par contre c'est con de rater un truc "évident"...)
C'est évident si on a vu le résultat équivalent concernant les séries numériques absolument convergentes, mais comme c'est pas toujours le cas, c'est dés fois dans ce contexte là qu'on démontre pour la première fois un résultat de ce type (pas super long à établir, mais c'est quand même pas du "une simple ligne suffit")
Sinon, j'ai pas fait le moindre calculs, mais ça mange pas de pain de dire que :
- Déjà tu commence par l'exprimer les An sous forme de somme.
- Puis, en fonction de la "tronche" des An, du temps que tu as, de ton humeur, etc... tu peut éventuellement chercher à la simplifier, mais faut pas compter que ça marche "à tout les coups" (par contre c'est con de rater un truc "évident"...)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: série entière
par magalicantat » 03 Fév 2016, 20:58
pour le coefficient est ce que vous trouvez bien ^p(-z)^{n-2p}}{2^pp!(n-2p)!x^p})
?
y a t il une réécriture ?
y a t il une réécriture ?
Re: série entière
par Ben314 » 04 Fév 2016, 08:07
Lorsque tu a écrit (1er post) ça :)
vont (éventuellement) dépendre de 
et de 
, mais ne dépendent pas de x.
Donc ton truc est clairement faux vu qu'il "contient" du
.
Sinon, à part ce qui ne devrait (évidement) pas être là, le reste me semble correct.
Perso, j'aurais sans doute écrit le (-z)^(n-2p) sous la forme (-1)^(n-2p).z^(n-2p) pour très légèrement simplifier, mais c'est pas super grave.
Enfin, vu la tête du bidule, ça m'étonnerais pas mal qu'on puisse l'écrire plus simplement que sous cette forme.
Ca signifie que tesmagalicantat a écrit:
Donc ton truc est clairement faux vu qu'il "contient" du
Sinon, à part ce
Perso, j'aurais sans doute écrit le (-z)^(n-2p) sous la forme (-1)^(n-2p).z^(n-2p) pour très légèrement simplifier, mais c'est pas super grave.
Enfin, vu la tête du bidule, ça m'étonnerais pas mal qu'on puisse l'écrire plus simplement que sous cette forme.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: série entière
par magalicantat » 04 Fév 2016, 19:46
comment faire en sorte de retirer ce ?
vu que la puissance que l'on souhaite avoir est
et non 
vu que la puissance que l'on souhaite avoir est
Re: série entière
par Ben314 » 04 Fév 2016, 22:03
Ça, c'est vraiment pas un problème : si tu as une somme (aussi bizarre que tu veut) avec dumagalicantat a écrit:comment faire en sorte de retirer ce
vu que la puissance que l'on souhaite avoir est
Évidement, il faut un peu "revoir" la façon dont tu exprime ta somme en disant soit que tu fait "disparaitre" le
Mais ça me semble du "assez classique" vu que ça revient uniquement à faire l'équivalent d'un "changement de variables" mais au fond en plus simple.
En fait, le problème risque de venir d'un truc un peu "concon" : as-tu vu ce qu'était, en général, une "famille sommable" ?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: série entière
par magalicantat » 04 Fév 2016, 22:16
Ben314 a écrit:En fait, le problème risque de venir d'un truc un peu "concon" : as-tu vu ce qu'était, en général, une "famille sommable" ?
ca ne me dit rien
merci pour l'idée du changement de variable j'essaie
Re: série entière
par Ben314 » 04 Fév 2016, 22:32
La notion de "famille sommable", en résumé rapide et approximatif, c'est ce dont on a besoin pour écrire sans se faire c... des somme indexées sur un peu n'importe quoi du style tout les triplets d'entiers (m,n,p) tels que m<p<n+q ou n'importe quoi du même style.
Le résultat "essentiel" dit (plus ou moins) que, si les trucs qu'on somme sont "absolument convergent" (i.e. que la somme des valeurs absolues (ou modules ou normes) est convergente) y'a pas de problème.
C'est une généralisation de la notion de série (numérique) commutativement convergente que tu as peut-être vue.
Sans cette notion, je sais pas trop comment il faut rédiger ça proprement (i.e. le fait qu'on peut faire la somme en question en changeant allègrement les indices et les ordres des différents sigmas), mais on peut considérer que ton cours sur les séries entières contient un "truc" justifiant qu'on peut faire la somme en question "n'importe comment" et que ça change pas le résultat.
En résumé, perso., j'écrirais sans me faire chier que
^n}{n!} x^n\times \sum_{m=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^m}{2^mm!}x^{2m}=\sum_{(m,n)\in{\mathbb N}^2} \Big(\dfrac{(-z)^n}{n!} x^n\times\dfrac{(-1)^m}{2^mm!}x^{2m}\Big))
Sauf que, évidement, pour écrire ça, il faut avoir une définition de ce que signifie\in{\mathbb N}^2}\cdots)
Le résultat "essentiel" dit (plus ou moins) que, si les trucs qu'on somme sont "absolument convergent" (i.e. que la somme des valeurs absolues (ou modules ou normes) est convergente) y'a pas de problème.
C'est une généralisation de la notion de série (numérique) commutativement convergente que tu as peut-être vue.
Sans cette notion, je sais pas trop comment il faut rédiger ça proprement (i.e. le fait qu'on peut faire la somme en question en changeant allègrement les indices et les ordres des différents sigmas), mais on peut considérer que ton cours sur les séries entières contient un "truc" justifiant qu'on peut faire la somme en question "n'importe comment" et que ça change pas le résultat.
En résumé, perso., j'écrirais sans me faire chier que
Sauf que, évidement, pour écrire ça, il faut avoir une définition de ce que signifie
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: série entière
par magalicantat » 04 Fév 2016, 22:49
je vois ca ne me sert pas pour ce que je fais
parce qu'il y a plus simple mais merci de m'informer
parce qu'il y a plus simple mais merci de m'informer
Re: série entière
par Ben314 » 04 Fév 2016, 23:06
Si tu as effectivement "plus simple", je suis curieux de voir comment tu fait...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: série entière
par magalicantat » 04 Fév 2016, 23:25
comme tu me l'as indiqué avec un changement de variable ...
Re: série entière
par magalicantat » 05 Fév 2016, 20:06
voici ce que j'ai écris :
donc le coefficient communément appelé
de la série entière est :
^{\frac{n}{2}}}{2^{\frac{n}{2}}(\frac{n}{2})!}~\mathrm{si~}p\mathrm{~pair} \\ 0~\mathrm{si~}p\mathrm{~impair} \end{array} \right)
dans ce cas on a : ^n}{2^nn!}x^{2n}=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^{n})
Le produit de Cauchy ne contiendra de ce fait, que des termes pairs :
^{\frac{p}{2}}(-1)^{n-p}z^{n-p}}{2^{\frac{p}{2}}(\frac{p}{2})!(n-p)!}~\mathrm{si~}p\mathrm{~pair} \\ 0~\mathrm{si~}p\mathrm{~impair} \end{array} \right)
^{n-\frac{p}{2}}z^{n-p}}{2^{\frac{p}{2}}(\frac{p}{2})!(n-p)!}~\mathrm{si~}p\mathrm{~pair} \\ 0~\mathrm{si~}p\mathrm{~impair} \end{array} \right)
donc=\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{p=0}^{2n}\dfrac{(-1)^{n-p}z^{n-2p}}{2^{p}p!(n-2p)!}x^n)
donc j'identifie le de l'énoncé =\sum_{p=0}^{2n}\dfrac{(-1)^{n-p}z^{n-2p}}{2^{p}p!(n-2p)!})
Mais j'ai l'impression d'avoir fait une erreur puisque après on pose^nn!A_n)
et on devrait avoir une simplification évidente ce qui n'a pas l'air d'être le cas à moins que je ne la vois pas .
donc le coefficient communément appelé
Le produit de Cauchy ne contiendra de ce fait, que des termes pairs :
donc
donc j'identifie le
Mais j'ai l'impression d'avoir fait une erreur puisque après on pose
Re: série entière
par Ben314 » 06 Fév 2016, 12:50
Ton résultat déconne complètement, et ce n'est même pas un problème de résultat juste ou faux, mais de notation qui n'a aucun sens : Quand on écrit par exemple que 
, ça signifie que 
et donc de dire que 
est égal à ceci où cela selon que p est pair ou impair est complètement dénué de sens.
Ce qui aurais du sens, par contre, c'est de dire qu'on fait "la somme pour tout les p pairs" du truc en question et j'ai l'impression que, si on "interprète" ce que tu as écrit de cette façon là (i.e. la somme sur les p pairs ou impairs), ton résultat est correct. Mais attention quand même à bien comprendre que ce que tu as écrit ne va pas du tout.
Perso, voilà ce que j'aurais écrit :
^k}{k!} x^k\times \sum_{\ell=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^\ell}{2^\ell \ell!}x^{2\ell}=\sum_{(k,\ell)\in{\mathbb N}^2} \Big(\dfrac{(-z)^k}{k!} x^k\times\dfrac{(-1)^\ell}{2^\ell \ell!}x^{2\ell}\Big))
\in{\mathbb N}^2}\dfrac{(-1)^{k+\ell}z^k}{2^\ell k!\ell!}x^{k+2\ell}\ =\ \sum_{n=0}^{+\infty}A_n x^n)
où
\in{\mathbb N}^2\atop k+2\ell=n}\dfrac{(-1)^{k+\ell}\,z^k}{2^\ell k!\ell!}=\sum_{\ell=0}^{E(n/2)} \dfrac{(-1)^{n-2\ell+\ell}\,z^{n-2\ell}}{2^\ell (n-2\ell)!\ell!})
Toi, si effectivement tu n'as pas vu les famille sommables, tu n'a pas le droit de l'écrire comme ça vu que tu n'a pas de définition (ni de théorème) concernant\in{\mathbb N}^2})
.
Mais, évidement, tu doit arriver au même résultat (après, hélas, bien plus de calculs)
Edit : On peut aussi écrire que :
\in{\mathbb N}^2\atop k+2\ell=n}\dfrac{(-1)^{k+\ell}\,z^k}{2^\ell k!\ell!}=\sum_{0\leq k\leq n\atop n-k\text{ pair}}\dfrac{(-1)^{k+(n-k)/2}\,z^{k}}{2^{(n-k)/2} \,k!\,((n-k)/2)!})
Qui est plus ou moins ce que tu as obtenu.
Ce qui aurais du sens, par contre, c'est de dire qu'on fait "la somme pour tout les p pairs" du truc en question et j'ai l'impression que, si on "interprète" ce que tu as écrit de cette façon là (i.e. la somme sur les p pairs ou impairs), ton résultat est correct. Mais attention quand même à bien comprendre que ce que tu as écrit ne va pas du tout.
Perso, voilà ce que j'aurais écrit :
où
Toi, si effectivement tu n'as pas vu les famille sommables, tu n'a pas le droit de l'écrire comme ça vu que tu n'a pas de définition (ni de théorème) concernant
Mais, évidement, tu doit arriver au même résultat (après, hélas, bien plus de calculs)
Edit : On peut aussi écrire que :
Qui est plus ou moins ce que tu as obtenu.
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Re: série entière
par magalicantat » 06 Fév 2016, 22:58
C'est super compliqué, le soucis c'est que comme c'est une question de début de problème je ne peux pas la sauter ni avoir faux car ca détruirai tout mon travail.
Bref merci pour toute l'aide je vais essayer de me débrouiller avec les infos données plus ce que j'ai
Bref merci pour toute l'aide je vais essayer de me débrouiller avec les infos données plus ce que j'ai
Re: série entière
par Ben314 » 06 Fév 2016, 23:28
Si vraiment tu n'y arrive pas, je regarderais comment il faut le rédiger a ton niveau (mais ça me gonfle...).
De toute façon, tu doit obtenir ça :
} \dfrac{(-1)^{n-2\ell+\ell}\,z^{n-2\ell}}{2^\ell (n-2\ell)!\ell!})
ou éventuellement ça (un peu moins pratique) :
^{k+(n-k)/2}\,z^{k}}{2^{(n-k)/2} \,k!\,((n-k)/2)!})
Voire éventuellement (encore moins pratique) deux cas si tu sépare le cas pair (où il faut faire la somme pour les 
pairs) et le cas impair (où il faut faire la somme pour les impairs)
(et ne surtout pas distinguer deux "soi disant cas"
pair et impair)
De toute façon, tu doit obtenir ça :
ou éventuellement ça (un peu moins pratique) :
Voire éventuellement (encore moins pratique) deux cas si tu sépare le cas
(et ne surtout pas distinguer deux "soi disant cas"
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