Série entière et rayon de convergence

[Samoth]

Bonjour,

On suppose que avec .
On considère alors la série entière .
On souhaite montrer que le rayon de convergence de cette série est .

Alors.

i) Si i.e. si , alors converge d'après le critère de d'Alembert pour les séries, ET DONC .

Voilà, c'est cette toute dernière conséquence que je ne comprends pas.
est le sup de l'ensemble des tel que la suite soit bornée.
Si , alors converge et donc on devrait avoir a fortiori que , non ?

Je sèche.

Merci d'avance

[hdci]

Bonjour,

Vous confondez condition suffisante. condition nécessaire.

"Si |z|<1/l alors la série converge" : il suffit que |z|<1/l pour que la série soit convergente, l'inégalité |z|<1/l est une condition suffisante. Elle n'est pas nécessaire, il est donc possible que la série soit convergente si |z| est supérieur à 1/l

Le rayon de convergence est donc au moins 1/l puisque pour tout |z|<R, la série converge et pour tout |z|>R la série diverge : si R était inférieur à 1/l, on aurait une contradiction avec |z| compris entre R et la moyenne de R et 1/l.

Autre façon de voir les choses : vois savez certainement que la série de l'exponentielle (x^n/n!) a pour rayon l'infini. Vous pouvez donc dire "pour tout |z|<10, la série converge" : c'est vrai. Mais cela n'indique pas que le rayon de convergence est inférieur à 10, au contraire, et la preuve c'est qu'il est infini.

Si par contre on était dans l'autre sens : "il faut que |z|<a pour que la série converge", ce qui se traduirait par "La série converge => |z|<a", là vous pourriez dire que le rayon de convergence est R<=a.

[Samoth]

Merci hdci, c'est très clair !