Série entière qui s'annule en x

[lionel52]

Bonjour

Auriez vous des pistes de solutions pour :

"Soit x un réel montrer qu'il existe une série entière de rayon de convergence infini à coeff rationnels qui s'annule en x"

Merci d'avance

Lionel

[Monsieur23]

Aloha,

Pour troller, je dirais bien que la fonction nulle convient…

[Ben314]

Salut,
Construire (par récurrence) une suite d'entiers tels que, si on pose , alors on ait .
Sauf erreur, il suffit de prendre (partie entière) et tout devrait marcher.

[arnaud32]

tu prend f(z)=(z-x)e^z

[deltab]

Bonjour

Salut,
Construire (par récurrence) une suite d'entiers tels que, si on pose , alors on ait .
Sauf erreur, il suffit de prendre (partie entière) et tout devrait marcher.

La série ainsi construite, si elle existe est-elle une série entière?

Si x est rationnel, il suffit de prendre une série entière de rayon infini à coefficients rationnels (et il en existe , ) et de considérer la série qui sera bien une série entière à coefficients rationnels et de rayon infini.
Si x n'est pas rationnel, je ne vois que la série nulle qui remplit les conditions.

[mrif]

Bonjour



La série ainsi construite, si elle existe est-elle une série entière?

Si x est rationnel, il suffit de prendre une série entière de rayon infini à coefficients rationnels (et il en existe , ) et de considérer la série qui sera bien une série entière à coefficients rationnels et de rayon infini.
Si x n'est pas rationnel, je ne vois que la série nulle qui remplit les conditions.

Pour x rationnel pourquoi faire compliqué, il suffit de prendre la série -x+t = -x + t + 0*t² + 0*t^3 + ...
L'exercice n'a d'intérêt que pour x non rationnel.

[deltab]

Bonsoir.

Pour x rationnel pourquoi faire compliqué, il suffit de prendre la série -x+t = -x + t + 0*t² + 0*t^3 + ...
L'exercice n'a d'intérêt que pour x non rationnel.

Il y a alors un petit problème de notations. si par série tu entends , comme tu l'as fait pour S_n, tu as construit une série numérique et non une série entière à moins de considérer S_n(t)=... et la série

[mrif]

Bonsoir.



Il y a alors un petit problème de notations. si par série tu entends , comme tu l'as fait pour S_n, tu as construit une série numérique et non une série entière à moins de considérer S_n(t)=... et la série

Je n'ai pas de solution au problème et je n'ai pas compris la solution proposée par ben314.
Mais ce qui est sûr c'est que dans le cas où x est rationnel, il n'y a rien à faire puisque tout polynome est une série entière de rayon de convergence infini, et en particulier le polynome P défini par P(X) = X-x est une série entière qui convient.

[deltab]

Bonjour

Je n'ai pas de solution au problème et je n'ai pas compris la solution proposée par ben314.
Mais ce qui est sûr c'est que dans le cas où x est rationnel, il n'y a rien à faire puisque tout polynome est une série entière de rayon de convergence infini, et en particulier le polynome P défini par P(X) = X-x est une série entière qui convient.

Toutes mes excuses, je t'avais attribué la construction proposée par ben314.
Les solutions, il y a au moins une la série nulle déjà proposée.

Aloha,

Pour troller, je dirais bien que la fonction nulle convient…

Mais à quoi bon se casser la tête, lionel52 est l'auteur du topic, il est déjà parti en vacances ou il est en train de rire (ou les deux)

[Ben314]

Il y a alors un petit problème de notations. si par série tu entends , comme tu l'as fait pour S_n, tu as construit une série numérique et non une série entière à moins de considérer S_n(t)=... et la série

Mon truc n'est effectivement peut-être pas trés clair.
Pour construire les , on considère bien les avec un x (si on veut, on peut écrire à la place de , mais il me semble que le "x" est sans ambigüité une constante donnée par l'énoncé donc perso, le , j'aurais tendance à l'écrire sans le "de x" derrière...).
Aprés, une fois tout les construits, la série entière qui sera UNE solution du problème est où, effectivement, les coefficients dépendent du x de départ, mais (même remarque que çi dessus), j'aurais quand même tendance à les écrire bètement et pas .

Vu la construction des , il est clair que l'on va avoir f(x)=0 et une petite majoration simple des montre que le rayon de c.v. de la série est bien infini.