Série entière, convergence quadratique.

[Nightmare]

Bonsoir :happy3:

On m'a proposé aujourd'hui un exercice sur les séries, apparemment proposé en khôlle récemment à LLG, eh bien je suis heureux de ne pas avoir été le khôllé, car après 3h de recherche je suis loin du bout...

Voici l'énoncé :

Soit injective et bornée.

Je souhaite montrer la convergence de la série

J'ai pu conjecturer qu'en fait cette somme convergeait vers l'aire de mais je n'arrive pas à le prouver.

Bien sûr, cela amène à faire un peu de calcul d'intégrale mais je n'arrive pas à faire apparaitre la série !

Des idées?

Merci :happy3:

[Nightmare]

Pas d'idées?

[Clise]

Bonsoir,

Que représente U, complexe ou réel ?
Pour "conjecturer", tu es passé par le théorème comparaison série-intégrale ? parce que ce théorème n'est valide que si f(z) est positif ... et en complexe :doh:

[Nightmare]

Salut :happy3:

est le cercle unité

Non pour conjecturer j'ai pris quelques suites particulières !

[busard_des_roseaux]

Des idées?

re,

f est une série trigonométrique.
est-ce que l'on peut utiliser la théorie de Fourier ?

[busard_des_roseaux]

re,

je me permet de remonter l'exo qui est bien (mais difficile ?)

a priori, f est une série trigonométrique, ie,
la limite ponctuelle, sur le compact U , d'une suite de polynômes
trigonométriques. (z=)

f est donc mesurable. Elle est bornée (en module) par hypothèse.

déja, question naïve, est-ce qu'une fonction bornée
sur un compact est Lebesgue intégrable ?

mais f n'est pas une fonction bornée quelconque, c'est une limite ponctuelle
de polynômes trigonométriques.

N'aurait-on pas une théorème d'analyse fine qui nous donnerait la convergence uniforme, d'où on en déduirait

- continuité,intégrabilité de la limite, coefficients de Fourier, convergence de
la série dans ,thm de Parceval, etc..

[busard_des_roseaux]

pour l'injectivité, je me demandais à koi cette hypothèse pouvait bien servir:

est un paramétrage périodique d'un point "mobile" du plan complexe
d'affixe f(z).

Comme f est injective, si f est continue, est un arc (de Jordan ?) simple, sans point double ! en tous cas une courbe fermée.
Elle délimite donc un domaine du plan, connexe et simplement connexe.

et si ça se trouve, la série proposée est le carré
de la longueur de cet arc ?? ou l'aire du domaine intérieur ?
en tous cas, ça ressemble à la norme L2 de la dérivée

[Nightmare]

Salut busard :happy3:

Merci de t'intéresser au problème.

Déjà petite correction de l'énoncé, est le disque unité.

Pour l'injectivité : Cela nous permet de dire que f est un difféomorphisme du disque unité dans son image.

En particulier, on peut effectuer un changement de variable dans l'intégrale suivante :


Vu que f est holomorphe, son Jacobien est une similitude directe de déterminant

Autrement dit,

On passe ensuite en polaire :


Et par conséquent :


Et là je bloque. On voit que la série apparait doucement mais déjà, je n'arrive pas à simplifier le module de la somme au carré...

En tout cas, ça avance !

[Doraki]

En prenant \lambda_n = 1 pour n=10^100 et 0 sinon, je trouve que l'aire de f(U) (à savoir pi) est beaucoup plus petit que 10^100 et que les deux trucs n'ont a prori pas grand chose à voir.

[Nightmare]

Salut Doraki !

Pour ta suite la fonction f n'est pas injective il me semble.

[Nightmare]

Je pense avoir trouvé comment conclure ma preuve, un coup de produit de Cauchy puis de théorème de Parseval montre la convergence.

[busard_des_roseaux]

Pour l'injectivité : Cela nous permet de dire que f est un difféomorphisme du disque unité dans son image.

Bonjour Nightmare,

tu peux préciser ? j'ai un peu oublié la théorie des séries entières. :hum:
d'après ce que je peux en lire sur wiki , la théorie repose sur le rayon
R de convergence de la série , basé sur l'absolue convergence .
Mais içi, l'hypothèse est juste la convergence simple de la série,
et pas nécéssairement sa convergence en module ?

[Nightmare]

Salut busard !

On peut montrer que f injective et développable en S.E => f' ne s'annule jamais ce qui permet d'en déduire par inversion locale que f définie un difféomorphisme du disque sur son image.