Serie entiere analyse complexe

[louls]

Bonjour,
je bloque sur un sujet d'analyse complexe qui est le suivant:

soit f(x) =somme (n=0 jusqu'à + infini) e^-n e^(n²ix)

1-Justifier que f est bien définie sur R et est de classe C sur R.

2- Montrer que, pour chaque k, |f^(k)(0)/k!| > ou = à k^k.e^-k

Pour la premiere question je suis tenté de montrer que la suite converge mais est-ce suffisant pour dire qu'elle est Cinfini?!
Pour la 2eme je n'ai pas trop de pistes!

Merci beaucoup

[windows7]

salut,

1) deja pose fn(x) = somme k=0 a n e^-k*e^(k²ix)
c'est une suite de fonction, apres comment justifier pour commencer que f( la limite des fn ) est de classe C^1 ?

2) trivial si ta montrer f de classe c infini.

[louls]

merci de ta réponse!
alors pour montrer que c'est C1 je vais déjà dire que fn=e-n.e^(n²ix) est de classe C1 sur R (comment montrer que c'estsur R alors qu'on a du i ?) donc que la somme des Fn est C1 sur R

[windows7]

ta variable c'est x dans IR ..

tu connais pas un theoreme du genre

si somme fn converge simplement, si fn de classe c^k, et si somme des fn^k converge normalement alors

d ( somme fn ) / dx^k = somme d(f(n)/dx^k ?

[louls]

a oui exact! merci beaucoup