Serie et ecriture decimale

[jojo3367]

Bonjour à tous,
si quelqu'un pourrait m'aider sur l'exercice suivant:
Exercice5.Pour tout n∈N∗, on note pn le nombre de chiffres de l'écriture de n en base 10. Montrer que la série ∑n≥1pn/n(n+1) est convergente et déterminer sa somme.
Je suis en maths sup, je bloque sur cet exercice, j'aurais surement le corrigé dès demain mais je prefere m'y essayer dès maintenant, si quelqu'un peut me soumettre une idée
Merci d'avance

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Le nombre de chiffres de l'écriture décimale d'un entier naturel, c'est, à la grosse louche, le logarithme de cet entier en base 10.

[jojo3367]

Pas mal comme idée, je vais approfondir. Merci !