[Résolu] Série divergente ou convergente ?

[Anonyme]

Bonjour, j'ai trouvé un exercice où on demandait de prouver que la série de terme général 1/(n*q(n)) convergeait, où q(n) était le plus grand diviseur premier de n. (Ce n'était pas un piège vu qu'il y a aussi la correction)

J'ai pourtant fait un petit truc qui montre qu'elle diverge. Pouvez-vous me dire où est l'erreur svp ?

Soit A = { n;)N tq il existe p premier et k dans N tq n=p^k }

A est l'ensemble des nombres qui n'ont qu'un facteur premier.

La somme des 1/(n*q(n)) pour n dans N est plus grande que la somme des 1/(n*q(n)) pour n dans A.

Or cette dernière vaut

;) pour p premier de (;) pour k dans N de (1/(p^(k+1))))

Vu que q(p^k)=p

Or ;) pour k dans N de (1/(p^(k+1)) = 1 / (1-1/p)) = p/p-1 (somme géométrique)

donc la somme est ;) pour p premier de p/p-1, qui diverge.

Donc la somme demandée diverge puisqu'elle est plus grande que cette dernière.

Merci d'avance !

[Doraki]

Or pour k dans N de (1/(p^(k+1)) = 1 / (1-1/p)) = p/p-1 (somme géométrique)

Pourtant, pour p = 2, j'ai bien l'impression que
1/4 + 1/8 + 1/16 + .... < 2

[Anonyme]

Ah oui, je me suis trompé... (vous avez quand même oublié le 1/2 au début). Ca fait donc plutôt la somme des 1/(p-1), qui diverge aussi : le problème reste entier !

[Doraki]

Non, j'ai bien sommé 1/2q(2) + 1/4q(4) + 1/8q(8) + ...
1/1q(1) il n'est pas dans la somme.

[Anonyme]

Ah bah oui dans A j'ai mis 1 une infinité de fois... merci beaucoup.

[Nightmare]

Vers quoi converge-t-elle?

[Anonyme]

La correction sur mon livre ne donne pas la réponse...