Série absolument convergente

[Ncdk]

Bonsoir

J'avais une série à faire, et j'ai un peu de mal à comprendre mon erreur, j'en fait pas mal depuis quelques jours, j'ai pas eu trop de problème, mais sur celle-là je comprends vraiment pas...

Je dois étudier la convergence, respectivement la convergence absolue de la série de terme général pour



Je commence toujours par vérifier que cette suite tend bien vers 0, pour n qui tend vers l'infini, c'est évident pour ce cas.

Ensuite je voulais étudier , d'une part c'est plus simple mais j'arrive à un truc du style , donc du coup c'est équivalent à en l'infini... Donc du coup quand je passe en série, c'est une série divergente, donc du coup j'ai

Donc du coup j'en déduis que c'est série une divergente car par définition on a :
On dit que converge absolument si et seulement si

Mais je sais que pourtant cette série converge, mais je vois pas pourquoi mon raisonnement est faux, j'aimerais qu'on puisse m'expliquer mon erreur histoire que je puisse ne plus la faire

[Matt_01]

Tu as effectivement montré que cette série n'était pas absolument convergente.
Mais tu n'as encore rien fait concernant la convergence simple.

D'ailleurs, rien ne te permet d'écrire une chose du style , l'utilisation des équivalents est ici suffisante et ne statue rien sur les sommes partielles des deux séries.

[Ncdk]

Hum... Oui j'aurai du plutôt mettre, je sais qu'en TD on mets des = en forme de vague, pour dire grosso modo "ça se comporte de la même manière que à partir d'un certain rang" c'est pas tellement rigoureux mais c'est pour se donner une idée.

D'accord, du coup comment je peux faire pour la convergence simple ?
En utilisant le théorème de Leibniz ?

[Pythales]

Hum... Oui j'aurai du plutôt mettre, je sais qu'en TD on mets des = en forme de vague, pour dire grosso modo "ça se comporte de la même manière que à partir d'un certain rang" c'est pas tellement rigoureux mais c'est pour se donner une idée.

D'accord, du coup comment je peux faire pour la convergence simple ?
En utilisant le théorème de Leibniz ?

As-tu essayé ?

[paquito]

Si tu écris ta série, tu obtiens :



On a bien envie d'écrire:



mais cette série n'étant pas absolument convergente, on ne peut pas modifier l'ordre des termes....

Par contre, si tu considères des sommes partielles (donc des sommes finies), tu as:

et



Les suites et convergent toutes 2 vers ; il en est donc de même de et et finalement converge vers .