Sensibilité d'une fonction à ses variables dépendantes

[jonses]

Bonjour,

J'ai cherché longtemps, mais je n'ai pas trouvé ce que je cherche. Je pense très certainement que je ne cherche pas le bon terme sur internet et sur le forum, du coup je vous demande de l'aide pour m'aiguiller, si ce n'est répondre à mon interrogation.
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Ma problématique est la suivante :

Considérons une fonction (pas forcément linéaire) de variable d'entrée

Les () ne sont pas indépendants, mais dépendants par paquet, c'est-à-dire qu'on dispose d'une partition de et qu'on dispose de fonctions telles que :

• 
• est indépendant des variables des autres paquets

Je cherche à déterminer, parmi les variables , lesquelles sont les plus prépondérantes ?
Autrement dit, est le plus sensible aux perturbations de quelles variables parmi ?

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Quand j'ai cherché, je tombais sur Analyse de sensibilité (wiki). Mais cela parle de sensibilité aux incertitudes, alors que moi je cherche à savoir quelles sont les variables, lorsqu'elles sont légèrement modifiées, qui impliquent le plus de variation de la fonction .

Je pensais sinon à l'étude des dérivées partielles
Mais comment alors prendre en compte la dépendance par paquet avec les dérivées partielles ?

Je vous remercie d'avance pour votre aide

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Tu as
,
mais tu as des relations entre les données par

pour .
Ça n'a donc pas trop de sens a priori de voir la "sensibilité" de par rapport à un particulier puisque quand tu bouges , les variables du même paquet doivent aussi bouger (et tu ne sais pas trop comment).
Une solution peut être de choisir, au moins localement, des variables indépendantes dans chaque paquet, la variable restante du paquet s'exprimant en fonction des autres ...

[jonses]

Merci pour la réponse.

Si je comprends bien, l'idée que tu proposes serait par exemple :

• je choisis un paquet (disons)
• je suppose que sont indépendantes les uns les autres
• est liée aux précédentes variables par
• Je regarde l'effet d'une petite variation de () en gardant les autres constants, sauf qui peut varier

N'hésite pas à me corriger si je me trompe, mais c'est ce que je pense avoir compris

[GaBuZoMeu]

Oui, c'est une proposition, je ne dis pas qu'elle soit entièrement satisfaisante. Disons que c'est plus clean quand un paquet se compose de deux variables liées par une relation, disons par exemple . Alors (pourvu que la dérivée partielle par rapport à soit non nulle) et donc

où les petites variations de n'interviennent pas dans les points de suspension.

[lyceen95]

La fonction f n'est pas linéaire.
Mais tu as peut-être des infos sur les fonctions g ?
Si par exemple, g1(x1,x2,x3) = x1+x2+x3 , tu peux supprimer purement et simplement une des 3 variables x1, x2, x3.
Mais du coup, c'est un peu arbitraire de dire que f est sensible à x1, plutôt qu'à x2 ou qu'à x3

[jonses]

Oui j'ai des infos sur les fonctions g.
Dans mon problème que je suis en train d'étudier, je connais les fonctions g, mais elles ne sont pas linéaires et ne sont pas simples. Après c'est une gymnastique calculatoire pour obtenir leur dérivée, donc ce n'est pas infaisable.

L'idée que je tire du post GaBuZoMeu c'est, par exemple :
Je considère, dans un premier temps, x1, x2 indépendantes et que j'ai g(x1,x2,x3)=0.
Je fais perturber x1 en, fixant x2, (et donc x3 sera perturbé aussi) et je regarde la variation de f.
Ensuite je recommence avec x2, en fixant x1, et je regarde la variation de f.

Je considère, dans un second temps, x1, x3 indépendantes et j'ai g(x1,x2,x3) =0
Je fais perturber x1, en fixant x3, (donc x2 sera perturbé) et je regarde la variation de f
Je fais de même avec x3, et j'ai une variation de f

Enfin, je considère x2,x3 indépendante et x1 est contraint par g(x1,x2,x3) =0
Je fais perturber x2, en fixant x3 (donc x1 sera perturbé) et j'obtiens la variation de f
Je fais de même avec x3, et j'ai une variation de f

Au bout de compte, je compare les variations , , , , , entre elles, et je regarde lesquelles sont les plus prépondérantes

[mathelot]

bonjour,
à tout hasard, peut on faire appel aux fonctions symétriques (des racines) de chaque paquet ?

[jonses]

Désolé Mathelot, mais je ne vois pas de quoi tu parles. Pourrais-tu détailler ce que tu entends par fonction symétrique des racines stp ?

[mathelot]

ce sont des fonctions des variables X1,X2,..,Xn qui sont invariantes par permutation des Xi
exemple pour n =3

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Je ne vois absolument pas en quoi la considération des polynômes symétriques élémentaires pour faire avancer le schmilblick. Mathelot, tu supposes des symétries pour les fonctions f et g ? Ou alors, quelle est ton idée ?