Sens de variation d'une fonction

[jordangrond]

Bonsoir,

Je sais que c'est pourtant d'un niveau Bac mais je sèche sur une question depuis tout à l'heure.

J'ai l'énoncé suivant :

Soit g la fonction définie sur ]0, +∞[ par : g(x) = x^2 − 4 ln(x).
1. Etudier le sens de variation de g, et vérifier que g admet un minimum sur ]0, +∞[ égal à 2(1−ln(2)).

D'après le corrigé dont je dispose et qui est très peu détaillé je sais que la fonction g atteint son minimum en racine de 2 mais je ne comprends pas pourquoi.

Voici ce qui est indiqué dans le corrigé :

g est dérivable sur ]0, +inf[ et g'(x)= 2x-4x = 2(x²-2) / x

Quelqu'un pourrait m'éclairer svp ?

[hdci]

Bonjour,

g est dérivable sur ]0, +inf[ et g'(x)= 2x-4x = 2(x²-2) / x

Il doit y avoir une erreur dans ce que vous avez transcrit. N'est-ce pas plutôt 4/x à la fin ?

La dérivée du logarithme est la fonction inverse. Donc


Est-ce que jusque là vous suivez ?

Ensuite, quand on a une somme avec des fractions, que fait-on en général (il s'agit d'une histoire de dénominateur).

Et également, on peut mettre 2 en facteur.

[jordangrond]

Merci pour votre réponse rapide

Oui désolé j'ai oublié d'écrire la barre de la fraction en recopiant ma dérivée

Et vous parlez du fait de les mettre au même dénominateur ? Si oui c'est ce que j'ai fait dans mon premier message avec 2x-(4/x) = 2(x-2)/x

Pour être un peu plus précis je mets le 2 et le (x-2) au même dénominateur ici

[hdci]

Si oui c'est ce que j'ai fait dans mon premier message avec 2x-(4/x) = 2(x-2)/x

si vous mettez au même dénominateur, il manque quelque chose



Ensuite, qu'est-ce qui vous dérange dans la correction ? La fonction est définie sur donc x est toujours positif, ce qui fait que le signe de la fraction est le signe de

D'où

Ce qui fait bien (toujours parce que x est positif)

La fonction est décroissante jusqu'à racine de 2, puis croissante, et le minimum est bien atteint en racine de 2. Le minimum est alors

On utilise ici le fait que

[jordangrond]

Je savais que c'était quelque chose de bête que je n'arrivais pas à comprendre. C'était l'inéquation qui permettait d'obtenir ✓2 que je ne comprenais pas.

Je vous remercie !!