Savoir si polynôme (à gros coeff) irreductible

[wirmoffire]

Bonjour,

Mon niveau : école supérieur post-bac(1ère année).
Je voudrais savoir comment procéder pour savoir si les polynômes suivants sont irréductibles ou non dans R[X] (ensemble des polynômes réels) ou C[X] (polynômes dans les complexes):
X^(2008) + X² + 1
X^(2007) + X² + 1

Où j'en suis: Ils sont réductibles car Dans R[X] seul les polynômes de degré 1 ou de degré 2 sans racine sont irréductibles.
Dans C[X], seuls les polynomes de degré 1 sont irréductibles.

Pas question de chercher des "racines évidentes" pour ces polynômes (à part i,-i, 1 et -1 mais ça ne convient pas). Par ailleurs je sais que si je trouves la décomposition dans C[X] alors je peux facilement trouver la décomposition dans R[X]. Mais comment les réduire ?

[arnaud32]

dans C c'est facile :-)
et pour R, que dire de leur signe?

[wirmoffire]

X^2008 [supérieur ou égal à] 0
X² [supérieur ou égal à] 0
1 > 0
Donc X^(2008) + X² + 1 n'a pas de racine. Mais on peut toujours le réduire non ?

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Dans C[X] Il faut que X^2008 + X² = -1
Par exemple X^2008 = -1/2 et X² = -1/2

Si X = exp(2 Pi / 3) alors X^2008 = -1/2 + i.sqr(3)/2
Mais exp(2 Pi / 3)² = exp(4 Pi/3) = -1/2 - i.sqr(3)/2

Ce qui fait 1 quand on additionne ! donc on peut factoriser par (X-exp(2Pi/3) ) !

Mais bon j'ai trouvé ça comme ça, j'ai pas vraiment de méthodes pour trouver la racine.
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[Nightmare]

Salut,

deux choses à savoir :

Sur C, les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1

Sur R les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1, ou les polynômes de degré 2 à discriminant négatif.

Donc ici c'est pas difficile, tes polynômes sont tous les deux réductibles sur R. Pour le justifier sans utiliser le résultat précédent, il suffit de dire que chacun de tes polynômes admet deux racines complexes conjuguées (sinon, leurs coefficients ne peuvent pas être réels), alors il est divisible par (X- la première)(X- son conjugué) qui est a coefs réels.

Edit : désolé, je n'avais pas vu que tu avais édité ton post d'origine pour citer le résultat ci-dessus

[wirmoffire]

Mais pour décomposer + X² + 1 dans C[X] par exemple ?

[Nightmare]

Ben ça, c'est pas dit que ce soit faisable en pratique

[wirmoffire]

Ok mais j'écris quoi dans mon contrôle de math par exemple ?
"On ne sait pas si c'est factorisable" me semble pas très adapté à la question :
"X^2008 + X² + 1 est-il décomposable en facteurs premiers ? Si oui, écrire sa décomposition"