Sans le critère de Cauchy...

[MOHAMED_AIT_LH]

Bonjour
Est ce qu'on peut donner une réponse à la question suivante sans utiliser le critère de Cauchy?
Question:
Soit une application de classe de vers tel que les et sont integrables sur .
Démontrer que

[aviateur]

Bonjour
Plusieurs remarques.
1. Quel est l'intérêt de ne pas utiliser le critère de Cauchy?
2. Qu'entends- tu par f intégrable
ou alors a une limite quand u tend vers ?

[mehdi-128]

Je crois que le critère de Cauchy n'est plus au programme des classes prépas

[MOHAMED_AIT_LH]

1. Quel est l'intérêt de ne pas utiliser le critère de Cauchy?

Aucun, mais pour l'enseignement, des contraintes des programmes.

2. Qu'entends- tu par intégrable ?

Ce n'est pas moi, mais la définition de integrable ou sommable c'est l'intégrale du module converge.

[MOHAMED_AIT_LH]

Je crois que le critère de Cauchy n'est plus au programme des classes prépas

Tout à fait: que ce soit pour les limites , les intégrales convergentes ou la convergence uniforme d'une suite de fonctions (critère de Cauchy uniforme).

[aviateur]

Rebonjour
On a donc
Mais par hypothèses f'' est intégrable sur alors l'égalité précédente implique que
f'(x) admet une limite quand x tend vers l'infini. Mais cette limite ne peut être que 0 car f' est intégrable.

Tu m'as un peu troublé avec ton histoire de Critère de Cauchy (ou alors quelque chose m' échappé?)

[MOHAMED_AIT_LH]

Bonsoir,
Non tu as donné un bon début de bonne réponse , seulement à la fin, ça ne marche pas car d'une part il n'est pas dit que était intégrable(relis l'énoncé) et d'autre part, même si une fonction est continue intégrable, on ne peut pas affirmer que admet une limite quand la variable tends vers

[aviateur]

Rebonjour
D accord j'ai utilisé que f' est intégrable. Mais f' à bien une limite non ?
Pour affirmer cela j'ai utilisé que l intégrale de 0 à l'infini de f'' existe,
Maintenant si tu es d' accord avec cela, je change mon raisonnent pour finir.
Si la limite de f' n'est pas nulle alors f ne peut être intégrable puisque sa limite est plus ou moins l'infini

[MOHAMED_AIT_LH]

Mais f' à bien une limite non ?

Si! et c'est la raison principale pour laquelle j'avais apprécié en disant que 'c'est un bon début d'une bonne réponse'.
D'ailleurs c'est ici où se concentre l'éventuelle difficulté de la question qui a poussé certains à croire qu'il était indispensable d'appliquer le critère de Cauchy(chose non vraie).

Si la limite de f' n'est pas nulle alors f ne peut être intégrable puisque sa limite est plus ou moins l'infini

C'est vrai, mais nécessite un argument clair(Personnellement j'ai utilisé un résultat du cours au programme des prépas …)

[aviateur]

Voilà pour l'argument que tu souhaites. Soit a la limite de f' (qd x tend + l'infini). Pour simplifier je suppose que a>0. Pour A assez grand, x>A implique f'(x)>a/2>0.
Alors pour tout x>A, avec (th des accroissements finis).
Donc .... facile à finir

[Ben314]

D'ailleurs c'est ici où se concentre l'éventuelle difficulté de la question qui a poussé certains à croire qu'il était indispensable d'appliquer le critère de Cauchy(chose non vraie).

Une petite question juste comme ça : sans utiliser le critère de Cauchy, tu peut m'expliquer comment, partant de ton hypothèse disant que f'' intégrable sur [0,+oo[ c'est à dire que existe, comment tu fait pour en déduire que existe aussi ?

[aviateur]

Bonjour @ben c'est à moi que tu poses la question?

[Ben314]

Non, c'est à MOHAMED_AIT_LH que j’écris vu qu'il affirme à priori à tort (*) que l'on peut prouver le résultat sans utilise le critèrer de Cauchy.

(*) Ou alors il faut exhiber une autre preuve que celle là utilisant on ne peut plus clairement le critère de Cauchy pour l'implication "absolument intégrable => intégrable"

[aviateur]

En tout cas de mon point de vue, l'hypothèse (telle que précisée après ma question) signifie que f est dans Donc est bien définie et c'est la limite de quand b tend vers l'infini.
Maintenant, tu as raison: il y a peut être un contexte dans la question, c'est à dire qu'on ne parle que d'intégrale de Riemann.

Je suppose que c'est le sens de ta question.

Alors si on ne peut pas utiliser le Critère de Cauchy, on peut toujours faire du Cauchy s'en dire qu'on fait du Cauchy, i.e

On considère la suite qui est bornée par

La suite (u_n) admet donc une sous-suite convergente vers un nombre L.

Alors
avec
qu'on peut rendre aussi petit que l'on veut pourvu qu'on prenne b assez grand.

[MOHAMED_AIT_LH]

Non, c'est à MOHAMED_AIT_LH que j’écris vu qu'il affirme à priori à tort (*) que l'on peut prouver le résultat sans utilise le critèrer de Cauchy

Je faisais allusion à l'exercice posé à des élèves de spé qu'ils peuvent résoudre en utilisant tous les résultats qui figurent au programme actuel. Il en découle que l'exercice est loin de considérer que le théorème concernant: " intégrable sur converge ", comme un résultat à démontrer ici car il figure dans le cours.
Pour vous mettre dans l'image j'avais un ensemble d'élèves qui me disent que dans une activité d'heure supplémentaires , ils ont appris que l'utilisation du critère de Cauchy était nécessaires pour démontrer que admet une limite en , et c'est cette chose précisément que j'avais nié car tout simplement on peut le démontrer comme fait ci dessus par aviateur. Le reste on en parle pas car c'est du cours.

Cependant, ta question posséde une réponse qui consisté à utiliser ; , remarquer que et que et sont positives toutes les deux majorées par .

[MOHAMED_AIT_LH]

Voilà pour l'argument que tu souhaites. Soit a la limite de f' (qd x tend + l'infini). Pour simplifier je suppose que a>0. Pour A assez grand, x>A implique f'(x)>a/2>0.
Alors pour tout x>A, avec (th des accroissements finis).
Donc .... facile à finir

Tu donnes ici une démonstration qui devrait être valable si on suppose seulement dérivable et intégrable …

Sinon dans notre cas on a un avantage particulier : est non seulement dérivable mais de classe (puisqu'elle est de classe ), donc est continue et on peut utiliser le théorème(au programme) sommation des relations de comparaison: Comme au voisinage de , si on suppose , on a par sommation des relations de comparaison et le fait que n'est pas intégrable: , ce qui donne au voisinage de , ce qui contredit l'intégrabilité de

[Ben314]

Évidement : si pour toi, de "ne pas utiliser le critère de Cauchy", ben ça consiste à utiliser tel quel et sans se poser de question un théorèmes qui se démontre à l'aide des suites de Cauchy, alors effectivement, j'imagine difficilement un quelconque exercice qui "utiliserait les suites de Cauchy" . . .

[MOHAMED_AIT_LH]

j'imagine difficilement un quelconque exercice qui "utiliserait les suites de Cauchy" . . .

Le critère et non pas les suites ( le critér de Cauchy s'appuie sur les suites de Cauchy généralisées)
Précsément:

qu'on déduit du critère de Cauchy appliqué à intégrable: