Re Th De Rolle A L'infini

[celahesss]

soit f derivable sur R verifiant limit f(x) en +infini est egal a la limit de f en -infini alor il existe c appartien a R tel que f '(c)=0
j'arrive pa a demontrer ce th , si vou pouvez m'aider et merci d'avance

[yos]

multipost interdit!

[Nightmare]

Bonsoir :happy3:

1) Si les limites de f en + et - l'infini sont finies :
On considère g=f o tan en prolongeant par continuité :

On a et g est dérivable sur ]-pi/2;pi/2[ comme composée donc d'après le théorème de Rolle il existe un c dans ]-pi/2;pi/2[ tel que

Or :

Ainsi ie
tan(c) convient donc.

2) Si les limites de f en + et - l'infini sont infinies (on va dire que cette limite est +oo, quitte à considérer -f) , ce n'est pas bien compliqué.
Sur [0;+oo[
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe a tel que f(a)=f(0)+1
Sur ]-oo;0[ il existe b tel que f(b)=f(0)+1 et hop on applique Rolle.