Revue du sujet: dm maths nombres complexes

[lea1306]

Bonjour, j'ai un soucis avec une question.

On pose f(z) = 2z^4 + 4z^3 +12z^2 +4z + 10
_________ ___
-> justifier que pour tout complexe alpha on a : f(alpha) = f(alpha) (il y a une grande barre au dessus du 1er et juste une petite barre sur le 2eme alpha)
-> calculer f(i) et en déduire 2 solutions de l'équation f(z)= 0
-> montrer que f(z) peut s'écrire f(z)= (z^2 +1)(az^2 +bz+c) où a, b , c sont 3 réels que l'on déterminera
-> en déduire toutes les solutions de l'équation 2z^4 + 4z^3 +12z^2 +4z + 10= 0

Merci de votre aide.

[aviateur]

Si tu calcules f(i) tu dois trouver 0. Et d'après la
première tu en déduis aussi que f(-i)=0.
On peut donc mettre en facteur (z-i)(z+i). Mais
(z-i)(z+i)=z^2+1 c'est à dire que f(z)=(z^2+1)(az^2+bz+c)
C'est tout de même dommage que l'énoncé néglige le fait qu'on peut mettre 2 en facteur dès le départ!!!!
Bref ça me pèse ce genre de négligence.
Alors je dirai qu'on peut écrire
f(z)=2(z^2+1)(a'z^2+b'z+c')
f(z)/2=(z^2+1)(a'z^2+b'z+c')=z^4+2z^3+6z^2+2z+5
Bien sûr a'=1 et c'=5. Je te laisse trouver b'

[lea1306]

D'accord merci, par contre j'ai pas super bien compris l'histoire de mettre en facteur et comment trouver a'= 1 ...

[aviateur]

Si p est un polynôme tel que p(a)=0 et deg p=n
alors il existe un polynôme q de degré n-1 tel que p(z)=(z-a)q(z).

D'autre part une façon de comprendre pourquoi j'ai trouvé a'=1 et c'=5 (sans calcul), il suffit de redevelopper (z^2+1)(a'(z^2+....) et d'identifier avec le second membre. D'ailleurs c'est ce qu'il faut faire pour avoir b'

[lea1306]

C’est bon merci j’ai trouvé b=2

[aviateur]

OUi mais c'est b'=2. Si tu laisses la factorisation du prof tu auras a=2 a' b=2 b' et c=2c'