Revisions spé supplémentarité

par **benekire2** » 16 Sep 2010, 19:24

girdav a écrit:Salut benekire2,
tu peux évaluer l'égalité pour les matrices élémentaires , c'est-à-dire les matrices dont tous les termes sont nuls sauf le terme de la ligne et colonne qui vaut .

Salut girdav !

Merci pour la méthode, :we:

par **Matheur69** » 16 Sep 2010, 21:09

Encore un little problem :

Il faut montrer que pour toute matrice M de M_n(C) il existe un complexe k tel que M-kId ne soit pas inversible.
Je dit que il existe un polynôme P non nul tel que P(M)=0 et que donc avec les a_i racines de P , (M-a_1)...(M-a_n)=0

Mais je ne vois pas comment conclure. Merci de votre aide !

PS : Par ailleurs il faut en déduire ensuite que il existe une matrice X telle que MX=kX et donc en gros faudrait prouver qu'on peut trouver une matrice X telle que (M-kId)X=0 et vois pas non plus ,

par **Nightmare** » 16 Sep 2010, 21:14

Que signifie M-a1 ? D'où vient ce polynôme P ?

par **girdav** » 16 Sep 2010, 22:05

Matheur69 a écrit:Encore un little problem :

Il faut montrer que pour toute matrice M de M_n(C) il existe un complexe k tel que M-kId ne soit pas inversible.

Pense en terme de déterminants.

par **Matheur69** » 17 Sep 2010, 06:46

P est un polynome qui annule M et les a_i sont les racines de ce polynôme. Peut on s'en sortir sans déterminant ?

par **benekire2** » 17 Sep 2010, 07:21

Moi je peut pas aider, mais j'ai fait une recherche sur le forum et j'ai trouvé cela :

http://maths-forum.com/showthread.php?t=104506

Si ça peut t'aider !!

par **Matheur69** » 17 Sep 2010, 08:59

Mais ca me dit toujours pas comment montrer que M-k*Id n'est pas inversible pour un certain k,
par contre ca solutione ma deuxième question

par **girdav** » 17 Sep 2010, 10:10

Comment établis-tu l'existence de ce polynôme? De plus, je crois qu'il faut écrire les facteurs

avec

la matrice identité, car les

sont des complexes. Arrivé là, tu peux déduire qu'il y a au moins une matrice de la forme

qui n'est pas inversible, sinon le produit le serait.

par **Nightmare** » 17 Sep 2010, 10:38

Matheur69 a écrit:P est un polynome qui annule M et les a_i sont les racines de ce polynôme. Peut on s'en sortir sans déterminant ?

Cela ne répond pas à ma question, qu'est-ce qui assure l'existence de P? Et surtout, pourquoi introduire ce polynôme P si tu ne sais pas quoi en faire? Je veux dire, c'est pas anodin que de parler d'un tel polynôme...

Sinon, la méthode proposée par Girdav est essentiellement la même.

par **girdav** » 17 Sep 2010, 11:00

Oui, il serait dommage d'établir l'existence d'un polynôme annulateur avec des outils plus sophistiqués que le déterminant.

par **Matheur69** » 17 Sep 2010, 12:15

D'accord merci
En effet on demandait avant dans l'exercice de montrer que il existait un tel polynôme or (Id,M...M^n) est forcement libre a un moment,

Sinon un autre problème je dois expliciter les suites u et v telles que:

u0=0 et v1=1 vérifiant

et

Revisions spé supplémentarité

Qui est en ligne