Resultat qui semblerait evident

par **Anonyme** » 02 Juil 2005, 12:46

alors voila,je reflechissais a un resultat dont il me semble presque evident qu il est vrai,mais dont je n ai pourtant pas reussi a trouver de demonstrations:soit f1 et f2 deux chemins continus dans [0,1]^2(ie 2 applications continues de [0,1] dans [0,1]^2 ) tels que:
-f1 commence sur le cote gauche du carre [0,1]^2 et finit sur le cote droit
-f2 commence sur le cote bas et finit sur le cote haut

le but est le suivant:montrer que les chemins f1 et f2 se croisent...(ou alors trouver un contre exemple,mais ca m etonnerait enormement qu il en existe...

par **thomasg** » 02 Juil 2005, 13:16

Bonjour,

1) si f1(0)=f2(0) c'est terminé

2) sinon, considérons l'ensemble suivant: {x/f2(x)le théorème de la borne supérieure dans R, nous permet de cire que la valeur b définie ci-dessous existe:
b=sup{x/f2(x)nous allons alors distinguer 3 cas

a) si f1(b)=f2(b) c'est terminé
b) si f2(b)f1-f2 est une fonction continue par hypothèse, donc ile existe un réel k tel que si x appartient à ]b-k; b+k[ alors (f1-f2)(x)<0.
Ce qui est en contradiction avec la définition de b qui est la borne supérieure de l'ensemble considéré.
c) si f2(b)>f1(b), un raisonnement similaire nous amène également à une contradiction

seul le premier des 3 cas est donc possible.
Les coordonnées du point d'intersection sont donc (b, f1(b)).

Au revoir.

par **Anonyme** » 02 Juil 2005, 13:47

bonjour a toi aussi
je suis desole mais ca ne marche pas:Les valeurs que prennent f1 et f2 sont des couples,on ne peut donc pas comparer les comparer ni utiliser le thm des valeurs intermediaires.de plus,le fait que f1 et f2 se croisent ne se traduit pas par le fait qu il existe t tel que f1(t)=f2(t).ce qu il faut prouver,c est qu il existe t1,t2 tels que f1(t1)=f2(t2).bonne reflexion..

par **thomasg** » 03 Juil 2005, 08:23

je te présente mes excuses, j'avais mal lu l'énoncé.

Je vais donc recommencer à chercher.

par **thomasg** » 03 Juil 2005, 12:06

Re-bonjour,

l'idée de la démo qui va suivre est la même que celle utilisée dans la démo (fausse) précédente.

Changement de notations: je noterai f la fonction qui va de bas en haut et g celle qui va de gauche à droite, (f1,f2) et (g1,g2) les composantes respectives de f et g.

lemme: pour tout x de [0,1] il existe t dans [0,1] tel que g1(t)=x
la preuve est immédiate car g1 est continue de [0,1] dans [0,1] avec g1(0)=0 et g1(1)=1

Preuve de la proposition principale:
considérons l'ensemble E défini par, E={t de [0,1]/il existe T avec f2(t)
Si f(0)=g(0) la proposition est vraie
sinon E est non vide.
Dans ce second cas, le théorème de la borne sup s'applique,
notons b la borne supérieure de E
Nous distinguons alors trois cas

si il existe T tel que f2(b)=g2(T) avec g1(T)=f1(b), la proposition est vraie
si pour tout T tel que g1(T)=f1(b) on a f2(b)si pour tout T tel que g1(T)=f1(b) on a f2(b)>g2(T), on peut alors trouver une valeur b1 telle que b1
la proposition est donc démontrée.

PS: à vérifier, mais je crois que cette fois c'est bon

par **Anonyme** » 04 Juil 2005, 15:44

Re-bonjour a toi aussi,et re-desolé.Cette fois tu n est pas hors sujet,mais tu n as pas étudié tous les cas:il est possible qu on puisse trouver un T tel que f2(b)g2(T).pour plus de clarté,je vais essayer de construire un exemple ou ton b ne correspond pas a un point d intersection(ce serait plus facile si je pouvais dessiner):
Pour f prend la diagonale du carré qui part d en bas a droite pour aller en haut a gauche
pour g,prend la fonction affine par morceaux qui relie les points suivants:(0,0),(3/4,0),(0,3/4),(1,3/4)
(fais un dessin)

Alors avec ton b,on aura f(b)=(3/4,1/4),mais ce ne sera pas un point d intersection.On ait alors dans le cas que tu n a pas etudié(dans ce cas,g passe au dessous puis au dessus de f(b)
Voila,j espere que tu a compris mon exemple.Si tu reflechis encore un peu dessus,tu en arriveras peut etre a la meme conclusion que moi:ce résultat est un evidence intuitivement,mais cette "evidence intuitive" semble impossible a modéliser mathématiquement.en tout cas,bon courage...

par **quinto** » 04 Juil 2005, 16:00

Salut, et avec un raisonnement du genre:
f1=f f2=g
h=d(f,g)=|f-g| est continue sur un compact, elle admet donc un minimum noté m que l'on peut étudier, ca pourrait donner des trucs intéressant non? (pas du tout essayé c'est une idée que je lance comme cà)

par **Anonyme** » 04 Juil 2005, 16:24

j ai essaye aussi mais ca n a rien donne(en fait,sur cette piste,j ai pas reussi a avancer plus loin que ce que tu as dit)

par **thomasg** » 04 Juil 2005, 16:57

bonjour,

je suis d'accord avec ton contre-exemple.

Je vais recommencer à chercher.

Je suis également d'accord avec toi sur le fait que la rédaction est délicate.

Au revoir.

par **cesar** » 04 Juil 2005, 17:30

quinto a écrit:Salut, et avec un raisonnement du genre:
f1=f f2=g
h=d(f,g)=|f-g| est continue sur un compact, elle admet donc un minimum noté m que l'on peut étudier, ca pourrait donner des trucs intéressant non? (pas du tout essayé c'est une idée que je lance comme cà)

l'idée n'est pas mauvaise à condition de ne pas prendre la valeur absolue :

on prend f-g et on fait varier x sur le domaine de définition.
on connait deux points, (les deux bouts de l'intervalle). On sait que f-g est continue et sur l'un des points elle est positive et sur l'autre point négative. Pour passer de l'un à l'autre, elle doit obligatoirement s'annuler 1 fois au moins.
au point ou f-g(x)=0 on a un croisement...

par **quinto** » 04 Juil 2005, 17:44

cesar a écrit:l'idée n'est pas mauvaise à condition de ne pas prendre la valeur absolue

Ici |.| représente une norme sur R²

On sait que f-g est continue et sur l'un des points elle est positive et sur l'autre point négative.

Mais ici on a une fonction à valeur dans R²...

par **palmade** » 04 Juil 2005, 17:57

Je ne comprends pas très bien pourquoi vous coincez...
Si j'ai bien compris on a deux fonctions continues que je noterais
pour 0<=x<=1, y=f(x) 0<=y<=1
pour 0<=y<=1, u=g(y) 0<=u<=1
Considérons la fonction u=g(f(x))-x elle est continue, positive en 0 et négative en 1 donc s'annule entre les deux; il existe x tel que y=f(x) et x=g(y) donc les courbes se croisent!

par **thomasg** » 04 Juil 2005, 18:01

Bonjour,

dans ma démo j'ai modifié légèrement la définition de l'ensemble E, je pense que maintenant cela marche.

(pour Palmade et pour ceux qui prennent la discussion en marche, attention à ne pas commettre la même erreur que moi, les fonctions sont à valeur dans R*R)

Au revoir.

par **palmade** » 04 Juil 2005, 18:25

Un chemin continu qui commence sur le coté gauche et finit sur le coté droit c'est le graphe où l'ordonnée est fonction continue de l'abscisse. De même un chemin continu qui commence sur le coté bas et finit sur le coté haut c'est le graphe d'une fonction continue de l'abscisse en fonction de l'ordonnée.
Le fait que ce soit des fonctions de R dans R^2 ne fait rien à l'affaire!

par **quinto** » 05 Juil 2005, 09:05

Bon alors voilà:

Soit tu décides que graphiquement les chemins se croisent, soit tu décides que ca revient à dire comme on l'a dit que |f-g| s'annule une fois, et là c'est faux en fait.

Il suffit de prendre
f1(x)=(x,0.5)
f2(x)=(0.5,x²)

on a |f1(x)-f2(x)|²=(x-0.5)²+(x²-0.5)²
Si |f1-f2| s'annule une fois alors (x-0.5)²=(x²-0.5)²=0 ce qui est faux.
Donc en fait il faut bien faire attention au fait que se croiser de veut pas dire que f1-f2 s'annule une fois...

par **palmade** » 05 Juil 2005, 10:57

Un chemin continu, eventuellement débarassé de ses boucles, divise le carré unité en deux morceaux connexes: il est topologiquement équivalent à un segment.
Si le second chemin part d'un des ensembles pour finir dans le second, il croise obligatoirement la frontière: c'est la définition même de la connexité

par **cesar** » 05 Juil 2005, 12:07

quinto a écrit:Ici |.| représente une norme sur R²

Mais ici on a une fonction à valeur dans R²...

desolé !!!

par **cesar** » 05 Juil 2005, 12:16

quinto a écrit:Bon alors voilà:

Soit tu décides que graphiquement les chemins se croisent, soit tu décides que ca revient à dire comme on l'a dit que |f-g| s'annule une fois, et là c'est faux en fait.

Il suffit de prendre
f1(x)=(x,0.5)
f2(x)=(0.5,x²)

on a |f1(x)-f2(x)|²=(x-0.5)²+(x²-0.5)²
Si |f1-f2| s'annule une fois alors (x-0.5)²=(x²-0.5)²=0 ce qui est faux.
Donc en fait il faut bien faire attention au fait que se croiser de veut pas dire que f1-f2 s'annule une fois...

pas convaincu par votre demo... ce n'est pas la bonne norme - il faut mesurer la distance de chaque point à chaque point de R^2,
vous avez pris un exemple qui ne s'annule jamais...si vous avez un croisement, alors f1(x) est le même point que f2(y), x et y étant dans [0,1] donc c'est f1(x)-f2(y) = 0 et non pas f1(x)-f2(x) = 0
c'est tout à fait different.
il n'est pas du tout obligé que cela soit au même X de l'ensemble de depart...
dans votre cas f1(0.5)-f2(racine(0.5)) = 0 : les deux fonctions se croisent bien au point (0.5,0.5).

la condition de croisement qu'il faut examiner : il existe au moins un x de [0,1] tel que
inf(|f1(x)-f2(y)|) = 0 avec y variant sur [0,1]. l'inf est atteint car nous sommes sur des compacts...

par **quinto** » 05 Juil 2005, 13:10

palmade a écrit:Un chemin continu, eventuellement débarassé de ses boucles, divise le carré unité en deux morceaux connexes: il est topologiquement équivalent à un segment.
Si le second chemin part d'un des ensembles pour finir dans le second, il croise obligatoirement la frontière: c'est la définition même de la connexité

Ouais c'est pas idiot

par **Anonyme** » 05 Juil 2005, 14:43

le "topologiquement équivalent a un segment ca veut dire quoi?ca utilise des outils sophistiqués?parceque l idée de montrer qu on a 2 composantes connexes j y ait pensé mais j ai pas vraiment réussi a le prouver...(et y a quelques cas a mettre de coté,par exemple si f est une surjection de [0,1] dans [0,1]²)

Resultat qui semblerait evident

resultat qui semblerait evident

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