Restriction d'une fonction continue sur un compact

[MC91]

Bonjour,

J'ai quelques doutes sur des théorèmes parlant de compacité, j'espère que vous pourrez m'éclairer.

On considère une fonction f continue sur un intervalle I, et K un compact inclus dans I.

Est ce que la restriction de la fonction f à K est continue?

Est ce que la restriction d'une fonction continue est toujours continue? La notion de compacité est elle donc obligatoire?

Merci d'avance pour vos réponses.

Je vous souhaite une bonne journée, à bientôt.

[Ben314]

Salut,
Oui, la restriction d'une fonction continue est (heureusement) toujours continue, quel que soit l'espace topo. initial et quelque soit le sous espace sur lequel on l'a restreint.
Normalement, ça découle immédiatement de la définition d'une fonction continue (mais cette définition dépend du cadre dans lequel on se place : principalement topologie générale ou espaces métriques) ET de la définition que l'on prend pour la topologie que l'on met sur le "sous-espace" (de nouveau, légèrement différent dans le cas topo générale que dans le cas métrique)

[MC91]

Salut,
Oui, la restriction d'une fonction continue est (heureusement) toujours continue, quel que soit l'espace topo. initial et quelque soit le sous espace sur lequel on l'a restreint.
Normalement, ça découle immédiatement de la définition d'une fonction continue (mais cette définition dépend du cadre dans lequel on se place : principalement topologie générale ou espaces métriques) ET de la définition que l'on prend pour la topologie que l'on met sur le "sous-espace" (de nouveau, légèrement différent dans le cas topo générale que dans le cas métrique)

Merci beaucoup pour votre réponse.
A bientôt !