Résoudre une équation fonctionnelle

[Dubble]

Bonjour.
Je voudrais bien lancer le débat :
On cherche les fonctions dérivables une fois ou plus vérifiant

Bon courage

[ffpower]

Hum, suite à un assez long topic ya quelque temps, il avait été conclu que cette équation avait des solutions continues non triviales. (J'espère que ce topic n'est pas parti dans le black out du forum en passant)

Par contre, sur la version dérivable,ou infiniment dérivable, rien n'a été trouvé, et ça semble chaud..Espérons qu'avec ce relançage de sujet de nouvelles idées apparaissent^^

ps: ce topic aurait été mieux dans "défis"

[Dubble]

Ah, j'avais vu sur un forum que quelqu'un l'avait eu en colle mais c'est probablement faux alors.
On peut sortir une fonction C° non triviale solution ?

[Doraki]

J'ai retrouvé ça :

Les solutions continues sont obtenues sur [0;1] en choisissant une fonction continue g continue de [0 ; 1/2] dans R telle que g(1/2) = 0, et en prenant la limite de la suite de fonctions définie par :

f0(x) = 0

f(n+1)(x) =
pour 0 <= x <= 1/3, g(x) - g(x/(1-x)) + fn (x/(1-x)) /2
pour 1/3 <= x <= 1/2, g(x) + g(1-2x/1-x) + fn (x/(1-x)) /2
pour 1/2 <= x <= 2/3, - g(1-x) + g(2x-1/x) + fn ((1-x)/x) /2
pour 2/3 <= x <= 1, - g(1-x) - g((1-x)/x) + fn ((1-x)/x) /2

(fn) converge uniformément vers une fonction continue f.

Pour obtenir f sur R, on prend
pour x <= 0, f(x) = f(x/(x-1))
pour 1 <= x <= 2, f(x) = -4g(0)-f(2-x)
pour 2 <= x, f(x) = -4g(0)-f((x-2)/(x-1)).

(il y a bijection entre les fonctions g continues sur [0;1/2] qui valent 0 en 1/2 et les fonctions f continues solution de l'équation fonctionnelle, pour obtenir g à partir de f on prend g(x) = (f(x) - f(x/(1-x))/2, je crois).

Pour voir si y'en a des dérivables (ce qui m'étonnerait parceque ça donne des fonctions qui ressemblent plutôt à du blancmange), alors le g correspondant est dérivable, et il faut voir à quelles condition sur g' est-ce que la suite fn' est continue et converge uniformément.

J'avais vaguement essayé de voir ce qu'on pouvait faire comme manipulations en supposant f dérivable, j'avais rien obtenu de probant j'crois.

[ffpower]

J'avais oublié que t'avais réussi au final à obtenir une solution directe..
Faut dire que j'ai jamais pris la peine de vérifier ta construction XD

Sinon, ton équation équivalente, c'était bien
f(x)=f((1-x)/(2-x))+f(1/(2-x)) ?

[Doraki]

J'crois que c'était f définie sur [0;1] qui vérifie f(x) + f(1-x) = f((1-2x)/(1-x)) pour tout x de [0;1/2].
C'est ce qu'on obtient (tout se ramène sur cette équation par magie) quand on utilise les deux symétries f(x+1) = f((x+1)/x) (évidente) et f(1+x) + f(1-x) = 2f(1) (qu'on montre par magie et densité des rationnels).

Après le reste j'ai juste "effacé" ta solution qui passe par série de fourier en un truc plus élémentaire.

[ffpower]

oki

Sinon, ta formule pour récupérer g n'est pas probablement pas la bonne, car là on aurait tout le temps g(0)=0. De + là je crois qu'on a f(x)-f(x/(1-x))=0=>f=constante, ce qui semble strange
(car en partant de f quelconque, en posant g(x)=f(x)-f(x/(1-x)) et en faisant ta construction, on obtiendrait f1 satisfaisant l'équa fonctionnelle et censée être égale à f à une constante près..)

[Doraki]

En effet c'est pas la bonne formule. Je sais que c'est un truc du genre (f(x)-f(?(x)))/2, et j'ai pas pris le bon ?(x). Enfin bon si f est dérivable alors g devrait l'être aussi.

Là j'ai pas la foi pour me replonger dans le problème ^^'

[cheria2010]

salut les jeunes

j'ai une aidee et j'aime que vous la savoir .

f est derivable
on a


on passe en lime quand x tend vers 0 :
alors :
forcement
et
et aussi
a vous .
merci