Résoudre une Equation différentielle

[kaporal77]

Résoudre l’équation différentielle:

y''-3y'+2y = 2x²-6x+4

Quelqu'un peut résoudre cette équation s'il vous plait ? Je n'y arrive pas. Merci beaucoup

[pascal16]

tu as trouvé quoi comme solution sans second membre ?
dans le cours, il y a quoi comme mode de recherche quand le second membre est un polynôme ?

L'éthique du forum est de donner des pistes, aider mais pas de donner des réponses à recopier

[Viko]

@kaporal 77 Es-tu familier avec les transformation de Laplace ?
Si non il s'agit d'un outil mathématiques défini comme suit, la transformée de laplace d'une fonction f de la variable réel est défini par :

où p désigne la variable complexe, sachant que la transformée de laplace est linéaire et que la transformée de laplace est bijective (on peut donc définir la transformée de laplace réciproque) et enfin que :


ce qui fait en fait un outil indispensable à la résolution d'équation différentielle !

de plus il existe des tableaux de transformation et de transformation réciproque qui t'aideront dans ta résolution en voici un : http://www.bibmath.net/formulaire/index ... oi=laplace

[Lostounet]

@kaporal 77 Es-tu familier avec les transformation de Laplace ?

Euh quand même pas... C'est une simple équation différentielle linéaire d'ordre 2 avec un second membre on ne peut plus simple...

Je pense qu'il n'est pas instructif d'aller chercher aussi compliqué (d'autant plus que définir proprement la transformée de Laplace (et où est-ce qu'elle est bijective) est loin d'être plus "facile" que résoudre cette simple équa diff). Sauf bien sûr si on applique des formules (comme en automatique) ...

Par exemple, toutes les fonctions admettent-elles des transformées de Laplace? Quelles sont les conditions minimales requises? etc...

[Viko]

j'imagine bien qu'il y a des outils moins puissant pour résoudre les équations différentielles mais si on ne se penche pas trop sur la théorie sous-jacente et qu'on cherche simplement une solution à une équation en particulier dans un problème de plus grande envergure ( et c'est ce que la personne qui pose la question semble faire) la transformée est plutôt utile à mon humble avis.

et pour répondre à ta question (dont tu connais sûrement déjà la réponse) les conditions minimales pour q'un fonction admette une transformée de Laplace est qu'elle soit intégrable (donc continu et défini ) sur (le est souvent superflu sauf dans des cas particuliers comme la fonction de dirac). Il est donc évident que oui il existe des fonctions qui n'admette pas de transformée de Laplace

[Lostounet]

( et c'est ce que la personne qui pose la question semble faire) la transformée est plutôt utile à mon humble avis

J'ai plus l'impression que la personne qui pose la question est perdue dans son cours :p et qu'on risque de la perdre avec ça (mais bon on verra).

et pour répondre à ta question (dont tu connais sûrement déjà la réponse) les conditions minimales pour q'un fonction admette une transformée de Laplace est qu'elle soit intégrable (donc continu et défini )

sur (le est souvent superflu sauf dans des cas particuliers comme la fonction de dirac).

Attention au fait que le dirac n'est pas une fonction comme une autre (mais une distribution). Par exemple, quel sens tu donnes à la dérivée du dirac? À sa transformée de Laplace? Multiplier par p est-il toujours valable?

Bien entendu comme tu le dis il faut regarder l'intégrabilité de la fonction mais il se peut que l'on puisse étendre à des fonctions localement intégrables, seulement continues par morceaux ou autres (je peux essayer d'apporter des précisions sur ce point si tu veux). Le 'dirac' (et autres distributions) c'est vraiment un cran au dessus et elles sont pas du tout du même acabit dans la théorie (elles ont un module à part). On ne peut pas tout transposer aux distributions malheureusement c'est très difficile (c'est pas aussi évident que de rajouter ou retirer le 0-).

Il vaut mieux lire un cours plus élementaire sur les équations différentielles linéaires et voir la méthode de résolution de l'équation homogène et lui ajouter une solution particulière polynomiale. Ici en l'occurrence c'en est une application directe.

Of course elle est utile (et c'est bien que tu connaisses en fin de TS) ! mais la formaliser mathématiquement c'est plus difficile que de comprendre le fonctionnement des ED linéaires de base. Mais c'est que mon humble avis :p

[Viko]

je n'ai pas la moindre idée de ce qu'une distribution peut bien être et je pense que sa mérite un post à part pour pleinement étudier la question, mais nous nous éloignons de notre sujet de départ mon cher !
revenons donc à nos moutons et oublions ces histoires de transformer de Laplace pour l'instant, je propose donc une méthode de résolution plus conventionelle :

On commence par résoudre :
(si tu ne sais pas comment faire on peut t'expliquer plus en détail)
soit v une solution de :
Il est évident que toutes les fonctions de la forme v + u sont solution de (2) où u est solution de (1)
Il suffit donc à présent de trouver une solution particulière de (2), lorsque le membre de droite est un polynôme de degrés n on cherche souvent les solutions qui sont elles aussi des polynômes de degrés n en procédant par identification, maintenant à toi de jouer !

EDIT : ui lostounet je suis d'accord comprendre vraiment toute la théories sous-jacente aux transformée de Laplace est complexe, trés complexe. Mais simplement s'en servir (même si c'est un peu moins drôle ^^) est beaucoup plus abordable

[Lostounet]

Voilà :p

je n'ai pas la moindre idée de ce qu'une distribution peut bien être et je pense que sa mérite un post à part pour pleinement étudier la question, mais nous nous éloignons de notre sujet de départ mon cher !

Tu as raison. Mais c'est toi qui a parlé de dirac en premier :p