Résoudre D(n,m) = n² + nm + m²

[Sam Mar]

Bonjour à tous, :we:

Je suis sure que ce problème pourra intéresser certains d'entre vous. J'ai besoin des réponses pour un projet de recherche. Je ne connais pas encore les réponses.

Soit deux entiers relatifs.
On considère ce nombre



Soit la liste des valeurs prisent par .

Par exemple :









Voici les questions :

Soit un entier.

- Quelle est la valeur de ?

- Combien de couples différents vérifient ?

Notons ce nombre .

- Trouver la valeur de la somme suivante :

Notons cette somme.

- Pour un donné, trouver la valeur de correspondante. Cette dernière question est simple si on a obtenu comme fonction analytique de (il suffit alors de l'inverser), mais je ne suis pas sure que ce soit possible !

Merci beaucoup pour votre aide.

[Doraki]

hmmm des formes quadratiques.
Je te conseille de commencer à regarder par là

n²+nm+m² = 1/4 [3(n+m)² + (n-m)²]

Si j est une racine 3ième primitive de 1,
n²+nm+m² = (n-mj)(n-mj²) donc tu vas bosser dans Z[j]

avec un petit calcul d'aire.

[busard_des_roseaux]

bjr,

Il faudrait que tu précises
la numérotation de utilisée.

En général, on partitionne
selon des segments de droite d'équation
Y+X=p pour p=0;1;2;3;4...

ces segments sont parcourus en montant si p est impair
et en descendant sinon.

un point de coordonnées (m,n) a le numéro k donné par:

si p=m+n est pair:

si p=m+n est impair:



ok, j'ai compris avec les explications de Doraki. Ce que j'ai indiqué
ne marche pas. :hum:

[Sam Mar]

hmmm des formes quadratiques.
Je te conseille de commencer à regarder par là

n²+nm+m² = 1/4 [3(n+m)² + (n-m)²]

Si j est une racine 3ième primitive de 1,
n²+nm+m² = (n-mj)(n-mj²) donc tu vas bosser dans Z[j]

avec un petit calcul d'aire.

Merci pour ce conseil, je vais regarder ça de plus près. Par contre, le ne me vas pas tant que ça :hum:, puisque je regarde plutôt des valeurs de p pas trop grande en pratique (oui c'est un problème très pratique qui me fait poser toutes ces questions :we: , donc je vais voir ce qu'il en est de ce , si je peux trouver quelque chose de plus précis.

A bientôt

[Sam Mar]

Hello again,

j'ai aussi fait un calcul d'aire et je trouve equivalent à
Pour obtenir ça, j'ai considéré une partition du plan par des triangles équilatéraux. C'est normalement ce que représente l'équation si je me suis pas trompé dans la formule. Ca me parait plus normal que augmente avec puisqu'on parle des points à l'intérieur d'un disque (surface) en fonction du rayon du disque. Qu'en pensez-vous ?

Je piétine toujours sur le reste.

Au fait, je considère les entiers relatifs, et non pas seulement les naturels, mais je ne pense pas que ça change grand chose, ça doit juste diviser le nombre de couple par 6.

[Sam Mar]

Bonjour,

j'ai vu que l'équation avait déjà été bien étudié, mais je ne trouve pas la solution exacte sur le web.

Quelqu'un connaitrait une page web ou la solution est inscrite ? (wikipedia ne me donne pas ce que je veux). Ou alors, si quelqun connait directement la solution je veux bien aussi.
Je sais que ça n'est pas la politique du forum mais étant donné que ça a été déjà fait ...

Merci par avance

[Doraki]

Oui, c'est comme ça qu'on fait ça.

Sauf que ça augmente bien avec p.
Tu comptes les couples (m,n) tels que m²+mn+n² < p, pas m²+mn+n² < p².
p est déjà le carré du rayon du cercle.

Pour le reste, l'ensemble des valeurs prises par n²+mn+m² sont les nombres k dont les valuations sur les nombres premiers congrus à 2 mod 3 sont paires, mais c'est long à montrer.
Doit aussi y avoir une formule pour tk, dans le même genre que celle qu'il y a dans le problème des 2 carrés (n²+m² au lieu de n²+mn+m²)

[Sam Mar]

Oui, c'est comme ça qu'on fait ça.

Sauf que ça augmente bien avec p.
Tu comptes les couples (m,n) tels que m²+mn+n² < p, pas m²+mn+n² < p².
p est déjà le carré du rayon du cercle.

Ok je vois, merci pour la précision.

Pour le reste, l'ensemble des valeurs prises par n²+mn+m² sont les nombres k dont les valuations sur les nombres premiers congrus à 2 mod 3 sont paires, mais c'est long à montrer.

Ok, j'ai maintenant compris ce résultat. Pour la preuve, c'est pas très grave, j'ai simplement besoin des résultats, vu le temps que j'ai pour ce projet, je vais mettre ma curiosité mathématique en veilleuse :briques:

Doit aussi y avoir une formule pour tk, dans le même genre que celle qu'il y a dans le problème des 2 carrés (n²+m² au lieu de n²+mn+m²)

Intéressant, si j'ai ça après je pense que je peux me débrouiller. Si tu as une idée d'où je peux trouver ça...
Quel est le résultat pour les tk pour n²+m² ?

Merci encore

[Doraki]

d'après la même page de wikipedia, pour n²+m², tk = 4* (nombre de diviseurs de k congrus à 1 mod 4 - nombre de diviseurs de k congrus à 3 mod 4).

Alors je dirais que pour ton problème, tk = 6 * (nombre de diviseurs congrus à 1 mod 3 - nombre de diviseurs congrus à 2 mod 3), est vraisemblable.

[Sam Mar]

d'après la même page de wikipedia, pour n²+m², tk = 4* (nombre de diviseurs de k congrus à 1 mod 4 - nombre de diviseurs de k congrus à 3 mod 4).

Alors je dirais que pour ton problème, tk = 6 * (nombre de diviseurs congrus à 1 mod 3 - nombre de diviseurs congrus à 2 mod 3), est vraisemblable.

Merci, je suis sure que tk doit avoir été calculé quelque part. J'espère pouvoir le trouver.

Voici ce que je souhaite calculer avec cela :
Pour une valeur V donnée, trouver la valeur p telle que et enfin , qui me donnerait mon résultat.

Penses-tu que ce soit possible de trouver une solution analytique (même approchée) ?

Merci, a bientôt

[Doraki]

La trouver exactement, je pense pas que ce soit très possible...

Pour le problème simplifié où t'as un quadrillage normal avec des carrés,
la somme des e^-1/n² n'est pas tellement calculable, le calcul de tk en regardant les diviseurs est inutilement compliqué, et celui de sp se fait en comptant le nombre de points à l'intérieur du cercle (en complexité O(sqrt(p))).

Par contre, on a une solution approchée basée sur l'aire du cercle comme t'as vu / sur le calcul de l'intégrale e^-1/t² au lieu de la somme.

Ici, cette approximation est encore possible, et faut que tu regardes toi même si elle est assez bonne à ton gout.
Mais il n'y a pas à ma connaissance de formule magique pour calculer tout ça rapidement et précisément.