Résoudre équation complexe avec des i

[Stéphanois57]

Bonjour,

J'ai cherché sur internet différents cours afin de résoudre une équation complexe comportant des i dedans (donc je ne parle pas d'une forme z^2+z+1=0 par exemple), mais je ne comprends pas tout.

Je précise c'est une équation du style z^2-(5i+14)z+2(5i+12)=0 qui me pose problème par exemple.

Quelqu'un pourrait-il m'aider en me détaillant précisément et simplement les étapes svp ?

Merci d'avance.

Bonne soirée à vous.

[Robot]

Tu as pourtant pas mal de ressources sur le web comme par exemple ici . Qu'est-ce qui te pose problème ?

[Stéphanois57]

Pour résoudre une équation basique du second degrés avec des nombres complexes, on fait normalement Delta=b^2-4ac. Ici il faut faire ça, ainsi qu'un petit delta si j'ai bien compris.
Et ce petit delta peut-être représenté sous la forme d'un système :
L1 : x^2+y^2=module de Grand Delta
L2 : x^2-y^2 = a dans Grand Delta (si Grand delta = 75+100i, a=75)
L3 : x*y et faut déterminer son signe (ici je ne comprends déjà pas).

Ces étapes sont-elles déjà correctes ? Est-ce que c'est la bonne méthode ?

[Stéphanois57]

Par exemple je viens de trouver ce lien : http://www.unit.eu/cours/iutenligne/TP_resolution_equation_coeff_complexe/exercice_corrig.html

Dans le système, il y a écrit "2xy". C'est donc "2xy" et non pas "x*y" comme j'ai dit juste avant ? Maintenant j'ai compris d'où viennent les valeurs de x et y. Mais je ne sais pas comment choisir leur signe. Dans cet exemple, x peut prendre la valeur 4 ou -4 et y peut prendre la valeur 1 ou -1. Comment les choisir ?

[Robot]

Qu'est-ce que cette histoire de grand Delta et de petit delta ???

La recette pour résoudre une équation du second degré à coefficients complexes ne diffère pas de celle pour résoudre une équation du second degré à coefficients réels.
On calcule le discriminant Le discriminant est un nombre complexe, et un nombre complexe est toujours un carré dans : il existe tel que . Les racines de l'équation sont, comme d'habitude, .

Le problème après est de calculer explicitement une racine carrée de . Mais là aussi, il y a plein de documents qui expliquent comment calculer les racines carrées d'un nombre complexes. Et d'ailleurs, n'est-ce pas expliqué dans ton cours ? As-tu relu ton cours ?

[mathelot]

Bonjour,

J'ai cherché sur internet différents cours afin de résoudre une équation complexe comportant des i dedans (donc je ne parle pas d'une forme z^2+z+1=0 par exemple), mais je ne comprends pas tout.

Je précise c'est une équation du style z^2-(5i+14)z+2(5i+12)=0 qui me pose problème par exemple.

Quelqu'un pourrait-il m'aider en me détaillant précisément et simplement les étapes svp ?

Merci d'avance.

Bonne soirée à vous.

tu calcules le discriminant
c'est un carré dans C donc

Les racines sont
et

[mathelot]

pour calculer une racine carrée
inconnue z=x+iy







Il faut que xy soit du signe de b. ce qui limite à deux le nombre de solutions

[Stéphanois57]

Bonjour,

Je vous remercie pour vos réponses rapides.

En réponse à Robot : Je n'ai pas fait encore ça en cours, ça va venir probablement… donc pas de quoi regarder ce qu'il y a dans mon cahier.

J'ai assimiler la méthode je pense. Cependant, il y a un cas qui me pose encore problème. Lorsque le discriminant delta=b^2-4ac vaut par exemple delta=1+0i. Dans ce cas, dans le système 2xy=b, b prend la valeur 0, mais xy doit être du signe de b. Doit-on prendre un signe positif ou négatif ?

[Robot]

Si est réel, pas besoin de chercher midi à quatorze heures pour trouver ses racines carrées dans : si , ce sont , et si , ce sont .

[Stéphanois57]

D'accord, donc dans mon exemple, comme b^2-4ac=1, les racines carrées sont 1 et -1 ?

[Robot]

Qu'est-ce que ça pourrait être d'autre ? :lol3:

[Stéphanois57]

Oui effectivement !

En tout cas merci beaucoup pour l'aide !

A bientôt !