Pour les premiers termes on a, en posant
On montre que
Il s'ensuit que pour
ou encore
Ce qui pour
On montre que
d'où:
ce qui pour
Je n'arrive pas à trouver mon (mes) erreur(s)...
Résolution d'une suite
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Résolution d'une suite
par rcompany » 14 Fév 2019, 04:33
Exercice suivant:
Pour les premiers termes on a, en posant,(b_n) et (c_n) suites\;reelles:)
&u_n(a=1;b=2)\\ \hline 0 &a&1&0&1&1&1 \\1&b&0&1&1&1&2 \\2&\frac{a+b}{2}&1&1&2&1&\frac{3}{2}\\3&\frac{a+3b}{4}&1&3&4&1&\frac{7}{4}\\4&\frac{3a+5b}{8}&3&5&8&1&\frac{13}{8}<br />\end{array})
On montre que
puis que 
Il s'ensuit que pour^{k+1}+(-1)^{k}b_{n-k})
ou encore^{i+1})+(-1)^k b_{n-k})
Ce qui pour
donne:
^{i+1})+(-1)^n b_{0}=\sum_{i=1}^n 2^{n-i}(-1)^{i+1})
car 
On montre que
d'où:
^{i+1})+b(\sum_{i=1}^n 2^{n-i}(-1)^{i+1})\Bigg )\cr u_n=\frac{1}{2^{n-1}}\Bigg ((a+b)\Big (\sum_{i=1}^{n-1} 2^{n-i}(-1)^{i+1}\Big )+b2^0(-1)^{n+1}\Bigg )\cr u_n=(a+b) \big (\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{2^{i-1}}(-1)^{i+1} \big )+b\frac{1}{2^{n-1}}(-1)^{n+1}\cr u_n=(a+b) \big (\sum_{i=1}^{n-1} (\frac{-1}{2})^{i-1}} \big )+b(\frac{-1}{2})^{n-1}}\cr u_n=(a+b) \frac{1-(\frac{-1}{2})^{n-2}}{1-\frac{-1}{2}}+b(\frac{-1}{2})^{n-1}} \cr u_n=\frac{2}{3}(a+b) (1-(\frac{-1}{2})^{n-2})+b(\frac{-1}{2})^{n-1})
ce qui pour
donne 
, ce qui est faux.
Je n'arrive pas à trouver mon (mes) erreur(s)...
Pour les premiers termes on a, en posant
On montre que
Il s'ensuit que pour
ou encore
Ce qui pour
On montre que
d'où:
ce qui pour
Je n'arrive pas à trouver mon (mes) erreur(s)...
Re: Résolution d'une suite
par chan79 » 14 Fév 2019, 09:19
Bonjour !
Bravo pour l'effort de rédaction.
Il y a plus court puisque
et 
sont des suites à double récurrence
Je regarderai tes calculs cet aprem si personne ne l'a fait.
Bravo pour l'effort de rédaction.
Il y a plus court puisque
Je regarderai tes calculs cet aprem si personne ne l'a fait.
Re: Résolution d'une suite
par LB2 » 14 Fév 2019, 09:48
Il me semble que la suite converge vers 1/3 a + 2/3 b: barycentre de a et b avec poids (1/3, 2/3) (et il n'y a pas besoin de toutes ces suites intermédiaires)
Re: Résolution d'une suite
par aviateur » 14 Fév 2019, 11:02
Bonjour
Pour une fois que quelqu'un demande de l'aide et fait des efforts!
Voici mes remarques:
1. D'abord effectivement le résultat c'est celui donné par LB2. ça te servira si tu reprends tes calculs.
2. C'est pas idiot ce que tu as fait mais ça peut s'améliorer. J'expliquerai après.
3. Si on reste sur ta façon de faire ça doit aboutir. Il faute reprendre à partir du moment où tu remplaces par
En effet ton expression de est correcte donc pour avoir la bonne expression de b_{n-1}
il faut remplacer n par n-1 partout dans (ce que tu n'a pas fait)
4. Concernant les simplifications
mérite d'être simplifié : ^{i+1}=\sum_{j=0}^{n-1} 2^j (-1)^{n-j+1}=<br />(-1)^{n+1} \sum_{j=0}^{n-1} 2^j (-1)^j)
et on voit la somme des termes d'une suite géométrique de raison (-2) (i.e on utilise =(q^n-1)/(q-1))
4. Concernant une simplifications encore: l'idée que tu exploites c'est qu'en regardant les premiers termes,
tu conjectures que
est de la forme /c_n)
. A mon avis l'introduction de 
est n peu inutile. Tu peux très bien entrer cela dans la et le 
Autrement dit tu supposes que
En faisant ça tu gardes malgré tout ton idée de base tout en simplifiant les calculs.
Pour une fois que quelqu'un demande de l'aide et fait des efforts!
Voici mes remarques:
1. D'abord effectivement le résultat c'est celui donné par LB2. ça te servira si tu reprends tes calculs.
2. C'est pas idiot ce que tu as fait mais ça peut s'améliorer. J'expliquerai après.
3. Si on reste sur ta façon de faire ça doit aboutir. Il faute reprendre à partir du moment où tu remplaces par
En effet ton expression de
il faut remplacer n par n-1 partout dans
4. Concernant les simplifications
4. Concernant une simplifications encore: l'idée que tu exploites c'est qu'en regardant les premiers termes,
tu conjectures que
Autrement dit tu supposes que
En faisant ça tu gardes malgré tout ton idée de base tout en simplifiant les calculs.
Re: Résolution d'une suite
par chan79 » 14 Fév 2019, 16:53
S'il s'agit d'exprimer en fonction de 
, 
et 
, je mets mon résultat
\times \frac{(-1)^n }{2^{n-1}}\right))
On voit bien que tend vers 
, comme le dit LB2.
On voit bien que
Re: Résolution d'une suite
par rcompany » 16 Fév 2019, 06:11
La version corrigée, pour ceux que cela intéresse:
Pour les premiers termes on a, en posant,(b_n)\;et\;(c_n) suites\;reelles:)
&u_n(a=1;b=2)\\ [\medskipamount] \hline\\ 0 &a&1&0&1&1&1 \\[\medskipamount] 1&b&0&1&1&1&2 \\[\bigskipamount] 2&\dfrac{a+b}{2}&1&1&2&1&\dfrac{3}{2}\\[\bigskipamount] 3&\dfrac{a+3b}{4}&1&3&4&1&\dfrac{7}{4}\\[\bigskipamount] 4&\dfrac{3a+5b}{8}&3&5&8&1&\dfrac{13}{8}<br />\end{array})
On montre que puis que
Il s'ensuit que
^{k+1}+(-1)^{k}b_{n-k}\end{array})
ou encore
Ce qui pour donne:
^{i+1})+(-1)^n b_{0}=\sum_{i=1}^n 2^{n-i}(-1)^{i+1}\; car \;b_0=0\\ =&(-1)^{n+1}\sum_{j=0}^{n-1}(2)^j(-1)^-j=(-1)^{n+1}\sum_{j=0}^{n-1}(-2)^j=(-1)^{n+1}\cdot \dfrac{1-(-2)^n}{1-(-2)}\\b_n=&(-1)^{n+1}\cdot \dfrac{1-(-2)^n}{3}<br />\end{array})
On montre que
d'où:
^n\dfrac{1-(-2)^{n-1}}{3}+b(-1)^{n+1}\dfrac{1-(-2)^{n}}{3})\\[\medskipamount] =&\dfrac{1}{3}\cdot\Big (\!\!\!-\!\dfrac{1}{2}\Big)^{n-1}\!\!\!\!\cdot \Big (-a+a(-2)^{n-1}+b-b(-2)^n \Big )\\[\medskipamount] =&\dfrac{1}{3}\cdot\Big (\!\!\!-\!\dfrac{1}{2}\Big)^{n-1}\!\!\!\!\cdot \Big (b-a+(a+2b)(-2)^{n-1} \Big )\\[\medskipamount] u_n=&\dfrac{1}{3}\cdot \Big (a+2b+(b-a)\Big (\!\!\!-\!\dfrac{1}{2}\Big)^{n-1}\Big )<br />\end{array})
Ce qui donne, pour vérification:
\Big (\!\!\!-\!\dfrac{1}{2}\Big)^{\!1}\Big )=\dfrac{2a+4b-b+a}{2\times 3} = \dfrac{a+b}{2})
\Big (\!\!\!-\!\dfrac{1}{2}\Big)^{\!2}\Big )=\dfrac{4a+8b+b+-a}{4\times 3} = \dfrac{a+3b}{4})
\Big (\!\!\!-\!\dfrac{1}{2}\Big)^{n-1}\Big )=\dfrac{a+2b}{3}=\lim_{n\to\infty} u_{2n} =\lim_{n\to\infty} u_{2n+1})
\;et \; (u_{2n+1})\text{ sont adjacentes pour }a\neq b.)
On montre aussi que:
Pour les premiers termes on a, en posant
On montre que
Il s'ensuit que
ou encore
Ce qui pour
On montre que
d'où:
Ce qui donne, pour vérification:
- Si
alors
- Si
alors
- Si
alors
- Si
alors
- Si
On montre aussi que:
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