Bonjour, je rentre en prépa cette année , je souhaite avoir une aide pour la résolution de l'équation suivante dans les complexes:
z^4 + z + 1 = 0 .
Merci d'avance pour les réponses apportées au problème posé.
Résolution d'une équation
6 messages
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par Nightmare » 28 Aoû 2007, 22:16
Bonsoir.
Pas de racines évidentes donc pas de factorisation "simple" possible.
Il ne reste plus qu'à employer des méthodes butales comme la méthode de ferrari.
Soit x un complexe quelconque et z une solution.
^{2}=z^{4}+2z^{2}x+x^{2})
Or
On obtient donc :
^{2}=2z^{2}x-z+x^{2}-1)
Cherchons x tel que le polynôme de droite soit un carré parfait.
Le discriminant vaut)
Il faut maintenant une racine de
.
On applique la formule de cardan (je ne détaille pas) et on obtient une solution très moche :
Bref, on a donc :
^{2}=2\(z+\frac{1}{2x_{0}}\))^{2})
Ainsi :
ou
)
On résout ces deux équations et on a nos solutions.
Conclusion : C'est long et ça sert à rien car les solutions sont imbuvables.
:happy3:
Pas de racines évidentes donc pas de factorisation "simple" possible.
Il ne reste plus qu'à employer des méthodes butales comme la méthode de ferrari.
Soit x un complexe quelconque et z une solution.
Or
On obtient donc :
Cherchons x tel que le polynôme de droite soit un carré parfait.
Le discriminant vaut
Il faut maintenant une racine de
On applique la formule de cardan (je ne détaille pas) et on obtient une solution très moche :
Bref, on a donc :
Ainsi :
ou
On résout ces deux équations et on a nos solutions.
Conclusion : C'est long et ça sert à rien car les solutions sont imbuvables.
:happy3:
par subtile49 » 29 Aoû 2007, 07:11
Merci beaucoup pour ta réponse rapide et détaillée. Cela m'a aidé.
Amicalement
Amicalement
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