Résolution d'une équation homogène

[33claire]

Bonjour tout le monde!
Mon ami est en train de passer ses partiels de maths et il n'a pas internet. Il bloque sur les variables libres.
Il sait résoudre les systèmes d'équations habituels mais ne connaît pas la technique pour résoudre un système d'équations homogènes.
Pouvez-vous l'aider? Il passe son partiel de maths vendredi
En l' occurence, voici l'énoncé sur lequel il a bloqué:

-Comment résoudre:
2x-5y+3z=0
x-7y+2z=0
3x-12y+5z=0

Ce qui l'intéresse est de comprendre le processus qui mène à la résolution de l'équation et non le résultat

Mille mercis !!

[mathelot]

Bonsoir Claire,
le système n'est pas de rang 3 car si l'on numérote ses lignes, on obtient:
L1+L2=L3
Le système est de rang 2 car le déterminant mineur

est non nul.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Rang_(math%C3%A9matiques)

On prend z comme paramètre.
les deux premières lignes donnent:

en faisant L1-2L2




L'ensemble des solutions est la droite vectorielle (z faisant office de paramètre)
dirigée par le vecteur:

[pascal16]

façon géométrie :

on, cherche l'intersection de 3 plans dans l'espace, vu le second membre (éq homogène) le point (0,0,0) est toujours solution, il y a donc toujours un point d'intersection entre les 3 plans .
_ le cas le plus probable, c'est 1 point (déterminant non nul)
_ ici, les intersections des plans 2 à 2 sont la même droite, c'est elle l'ensemble des solutions. On choisi arbitrairement un paramètre pour décrire cette droite
_ on peut aussi avoir les 3 plans confondus (équations proportionnelles)


avec un second membre non nul (géométrie classique), on a la cas où il n'y a pas de solution qui arrive avec au moins deux plans parallèles non confondus