Resolution De Triangle

[DELPHINE42]

Bonjour à tous,

Voici l'énoncé d'un problème que je n'arrive pas à résoudre:

On considère un triangle ABC dans lequel on connait R, le rayon du cercle circonscrit et la hauteur H relative au cote BC. De plus on sait que AC+AB = 2BC
on demande de calculer les trois angles du triangle.

je suis arrivée à r (rayon cercle inscrit) = h / 2BC et aussi à tg A/2 = h /(BC)²
Je pensais utiliser ensuite la formule BC/sin A =2R mais je n'arrive pas à transformer tous ça correctement...

please help !

Merci

[Daragon geoffrey]

slt je te conseille de te placer ds un repère orthonormé (cartésien ou complexe) centré en A qui devient lorigine et de vecteur directeur i de laxe des abcisses colinéaire au vecteur directeur de la droite (AC) ou (AB) ! ds ce cadre A(0;0) et B, ou C (selon ton choix) à pour coordonnées le couple (b;0) ! essaye dexprime les coordonnées de A en fct de celles des 2 eutres points et ensuite applique le(s) th(s) d'Alkashi o triangle ABC pour obtenir la mesure des angles ! @ +

[DELPHINE42]

Merci pour ta réponse mais il m'est demandé d'utiliser les formules "classiques" telles que celles que j'ai commencé à utiliser....

[pgeod]

Bonsoir Delphine,

J'ai une résolution à te proposer qui n'utilise que les relations d'angles et de distances dans un triangle quelconque. Par contre, je trouve cette résolution un peu lourde, et je ne te garantis pas qu'elle soit la plus élégante.

Puisque l'on connait la hauteur H issue de A dans le triangle ABC, l'idée de départ est d'exprimer la superficie du triangle de plusieurs manières afin d'obtenir au moins 2 relations entre b et c.

1° relation :

Soit S superficie du triangle ABC et H hauteur issue de A, on a : 2S = H a (1)
Par ailleurs on a 2S = bc sinA, et puisque a = 2R sinA (R = rayon du cercle circonscrit),
alors 2S = abc/2R (2)

Des relations (1) et (2), on déduit donc que bc = 2 R H

2° relation :

Puisque la relation précédente permet d'obtenir le produit de b par c, on recherche une nouvelle relation qui permettrait d'obtenir la somme de b et de c.

Soit p le demi périmètre du triangle ABC, p = 1/2 (a + b + c),
on a la relation suivante : S² = p (p - a) (p - b) (p - c).

or, puisque par hypothèse 2a = b + c, on a :
p = 3a/2,
p - a = a/2,
p - b = (3c-b)/2,
p - c = (3b-c)/2
avec (p - b) (p - c) = 1/16 (10 bc - 3 b² - 3 c²)
or bc = 2R H (1° relation), donc (p - b) (p - c) = 1/16 (20 R H - 3 (b² + c²))

La superficie S² du triangle ABC s'écrit donc :
S² = (3/4)² . a²/4 . (20 R H/3 - b² - c²) (3)

Des relations (1) et (3), on déduit donc que b² + c² = 20 R H/3 - (4H/3)²

Résolution :

Le problème se ramène maintenant à déterminer les deux grandeurs b² et c² dont on connait la somme (s) et le produit (p) donnés par les 2 relations suivantes :
s = b² + c² = 20 R H/3 - (4H/3)²
p = b² c² = 4 R² H²

Les grandeurs b² et c² recherchées sont les solutions de l'équation du second degré de la forme :
X² - sX + p = 0, d'où l'on tire b² et c²...

d'où b et c...
d'où a = 1/2 (b + c)...
d'où sinA = a / 2R, sinB = b / 2R et enfin sinC = c / 2R.

Voilà. J'espère surtout avoir été clair dans mes explications.

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