Résolution d'un triangle rectangle

[christoff]

Bonjour,

Je bloque sur cet exercice : Résoudre un triangle rectangle ABC connaissant l'hypoténuse BC = a et la hauteur AH = h issue du sommet de l'angle droit.

a = 322,45
h = 143,35

Comme ABC a pour relation a² = b² + c²

on a dans AHC son C = h/b
dans ABC sin C = c/a

donc h/b = c/a et ha = bc

ainsi a² = ((h²*a²)/c²) + c²

je multiplie tout par c² (=x) et j'obtiens une équation x² - a²x + (ha)² = 0

J'ai juste jusque là? Parcequ'aprés en calculant Delta ça me donne des nombres énormes...

[Ben314]

Salut,
Ca me semble parfaitement correct.
Juste un détail : le fait que bc=ah, tu pouvait l'obtenir plus rapidement en calculant de 2 façons différentes l'aire du triangle ABC.

Edit : en regardant un peu mieux, il y a une autre méthode (les calculs sont les même mais la présentation est plus jolie) :
Tu cherche b et c dont connait la valeur du produit bc=ah et la valeur de la somme des carrés b²+c²=a².
Sauf que tu peut en déduire assez facilement la valeur de la somme b+c :
(b+c)²=b²+2bc+c²=a²+2ah donc b+c=racine(a²+2ah).
Maintenant que tu connait la somme S et le produit P de b,c tu as du voir que b et c sont les solutions de l'équation du second degrés X²-SX+P=0.

[christoff]

Ok, ceci étant fait je bloque sur l'équation x² - a²x + (ha)² = 0
Un petit peu d'aide pour me débloquer?

[Ben314]

Delta=b²-4ac, ça te rappelle rien ?

[christoff]

Delta=b²-4ac, ça te rappelle rien ?

Si si je l'ai fais ça donne b² = a²² et 4ac = 4*1*(ha)²
donc a²² - 4*1*(ha)²

C'est bien ça? si oui ça me donne un nombre énorme...

[Ben314]

Oui, est l'énormité du nombre est assez normale.

a et h sont déjà un peu grand et ton delta, il va falloir en prendre la racine carré (ce qui va le faire nettement diminuer) pour avoir la valeur de c² (et pas celle de c) donc il faudra reprendre une racine carré pour finalement te retrouver avec des valeurs de l'ordre de a et h, donc de l'ordre de 100.


Sinon, avec l'autre méthode que je t'ai proposé, tu manipule des nombres un peu moins grand (et si tu as 5 minute, c'est pas con de faire les deux méthodes, ne serait-ce que pour voir si tu trouve bien les même résultats)

[christoff]

Très bien, mon équation tel que je vous ai écrite (a²² = a puissance 4) est elle bonne au moins?
Merci de votre aide!

[chan79]

Salut
Je suis d'accord avec Ben314
on pose S=b+c et P=bc
S²=b²+c²+2bc=a²+2ah=196420.4175
P=ah=46223.2075
Tu résouds l'équation X²-SX+P=0
avec les valeurs de a et h que tu donnes, il y a forcément un peu de calcul mais avec les calculatrices...

[Ben314]

Très bien, mon équation tel que je vous ai écrite (a²² = a puissance 4) est elle bonne au moins?
Merci de votre aide!

Oui, ça te fait du donc

Et je pense (comme chan) que ça serait bien ensuite que tu tente la deuxième méthode.
En particulier, c'est interessant si tu garde les résultats sous forme "théorique" (avec des a et des h) vu que les deux méthodes conduisent à des formules de forme différentes (qui évidement sont en fait égales)

[Dlzlogic]

Bonjour,
Une autre méthode : "la hauteur est moyenne proportionnelle entre les segments qu'elle détermine sur l'hypoténuse".
donc, S=a1+a2=a
P=a1*a2= h².
La suite est pareil, et c'est presque calculable à la règle à calcul.
Je fais le pari que Christoff suit une formation pour un métier que je connais un peu.

[christoff]

Bon j'ai bien compris la méthode pour arrivé à X²-SX+P=0
J'ai donc x² - 443,2x - 46223,2075 = 0
Mais quel est l'inconnu ici? b? c?

[christoff]

Je fais une formation de dessinateur technique et me remettre aux maths est un peu rude ^^.

[christoff]

D'ailleur delta = -443,2² - 4*1*(-46223,2075) ou delta = 443,2² - 4*1*46223,2075 ?

[chan79]

Bon j'ai bien compris la méthode pour arrivé à X²-SX+P=0
J'ai donc x² - 443,2x - 46223,2075 = 0
Mais quel est l'inconnu ici? b? c?

les deux solutions sont b et c

[Ben314]

D'ailleur delta = -443,2² - 4*1*(-46223,2075) ou delta = 443,2² - 4*1*46223,2075 ?

C'est le deuxième : delta = (-443,2)² - 4*1*(-46223,2075) et (-x)²=x²

Et concernant la "méthode" en question, si tu cherche b et c tels que b+c=S (connu) et bc=P (connu), tu écrit que :
(X-b)(X-c)=X²-cX-bX+bc=X²-SX+P
Donc les deux nombres que tu cherche sont les deux solutions de l'équation X²-SX+P=0 (vu que cette équation est en fait (X-b)(X-c)=0)

P.S. A mon avis, même si tu n'es ni physicien, ni matheux, vu la taille des nombres a et h, c'est moins chiant de faire tout les calculs avec les lettres a et h puis de ne faire qu'à la fin ce que les physitiens appelle une "application numérique" (A.N. en abrégé) consistant à remplacer les nombres par leur valeurs.
Cela présente plusieurs avantage :
- Pas besoin de se coltiner les résultats intermédiaires et de les noter
- Plus grande précision vu qu'on a rien noté (donc rien arrondi)
- Mais SURTOUT une vérification de la cohérence de la formule en terme d'unités : a et h sont en cm donc par exemple a², ah, h² sont des cm² et si tu as un truc du style a²+h quelque part, c'est forcément faux (on ajoute pas des cm² avec des cm). Et, évidement, les résultats que tu doit trouver, ben c'est des cm et pas des cm² ou des cm^3 !!!

[christoff]

D'accord merci!

donc delta = 381319.1

x1 = (-(-443.2) + racine 381319.1)/2*1

x1 = (-(-443.2) - racine 381319.1)/2*1

C'est bien ça?

[Ben314]

Oui, sauf une erreur de calcul:
donc

Et les solution sont effectivement

Avec ta méthode (et on trouvais la même chose avec celle de dzlogic), tu disait que est solution de ce qui conduit (aprés calculs) à ce qui, à première vu, semble différent du résultat précédent (mais si on élève les deux au carré, on voit qu'il s'agit bien de la même quantité)

Enfin, une dernière chose : vu la forme du résultat (somme/différence entre deux racine carés), tu peut "remonter" les calculs et te dire qu'en fait les deux valeurs "simples" qu'on devait pouvoir calculer dés le début, c'était et et effectivement, si on part (dés le début) de :


ça permet de résoudre complètement le problème sans résoudre la moindre équation du second degrés...
(j'aime beaucoup ce type de calculs où, arrivé à la fin, tu te dit "bon sûr, mais c'est bien sang, j'ai été complètement con...")

[Dlzlogic]

Petite précision sur l'intérêt de la méthode que j'ai donnée : l'opération la plus compliquée à faire est d'extraire la racine carrée de (143.25 * 16.87). Donc on traite au maximum 5 chiffres significatifs. Les habitués à la table de log verront tout de suite l'intérêt.

[Ben314]

Une autre méthode : "la hauteur est moyenne proportionnelle entre les segments qu'elle détermine sur l'hypoténuse".
donc, S=a1+a2=a
P=a1*a2= h².

Sauf erreur, il faut commencer par résoudre dont les solutions sont
et on en déduit que (un peu chiant).

DONC :
1) Je vois pas bien l'intérêt vu que les calculs sont plutôt plus long (calcul de ) qu'avec la méthode de départ de christoff et que ça donne exactement le même résultat.
2) Je comprend pas bien comment tu fait pour calculer ton truc en utilisant UNE SEULE racine carrée (j'ai beau avoir la vue qui baisse nettement, j'en vois deux des racines dans le résultat... :hein: )

[Dlzlogic]

Il est vrai que je me suis arrêté à la division de l'hypoténuse en a1 et a2
Donc, h²=a1*a2=P
a1+a2=a=S
X²-SX+P=0 ; S'=S/2
a1= +S' +racine(S'²-P)
delta= 161.22² - 143.35 = 143.35(17.87-1)
racine(delta) ~74 0 (à la règle)
a1=235.22
a2~87.22
Pour résoudre les 2 petits triangles rectangles et trouver b et c, on peut utiliser Pythagore ou les relations trigo. On peut aussi utiliser une table des carrés. Mais, en fait, ma table des carrés, je crois que je ne m'en suis jamais servi.
PM, j'ai commencé par faire un dessin au 1/500.
Voila.