Résolution de systèmes avec paramètres

[harcée]

Bonjour,

J'ai le système avec paramètre suivant à résoudre :
(1-m)x+y+z=0
x+(1-m)y+z=0
x+y+(1-m)z=0

J'ai posé la matrice, que j'ai échelonnée et j'ai trouvé
1 1 1-m | 0
0 -m -m | 0
0 0 m-m^2 | 0
1er cas : -m=0 donc -m n'est pas un pivot
Dans ce cas, la matrice devient :
1 1 1 | 0
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
Mais je pense que j'ai fait une erreur, ça ne me semble pas vraiment logique.
Pourriez-vous m'aider?
Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
non, c'est bien ça.
Et si tu as le moindre doute, au lieu de l'écriture en terme de matrice, revient à l'écriture "standard" (il faut absolument comprendre que cette écriture sous forme de matrice n'a absolument rien de "magique" : au fond, pour le moment, c'est juste un raccourci d'écriture pour économiser de l'encre)

Bref, ton
1 1 1 | 0
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
Il dit très exactement qu'il ne te reste plus qu'une seule équation qui est x+y+z=0 et que les deux autres ne servent à rien vu que 0x+0y+0z=0, c'est évidement toujours vrai.

Maintenant, regarde d'un autre coté ton système de départ :
(1-m)x+y+z=0
x+(1-m)y+z=0
x+y+(1-m)z=0
Lorsque m=0, il te dit quoi ce système ?
La même chose qu'au dessus (en bleu) ou pas la même chose ?

Sinon, toujours dans le cas où m=0, donc où il ne te reste plus qu'une seule équation (alors que tu as toujours 3 inconnues...) tu sait comment conclure concernant la/les éventuelle(s) solution(s) du système ?

[harcée]

Quand m=0, on a 3 fois la même équation, à savoir comme vous l'avez dit x+y+z=0
Et quand le nombre d'équations est inférieur au nombre d'inconnues, alors le système possède une infinité de solutions. C'est bien ça?

[Ben314]

Oui, plus ou moins : s'il a des solutions alors il en a une infinité.

Et là, dés le départ et sans aucun calculs, vu qu'il y a que des 0 à droite des =, il y aune solution complètement évidente au système en question, à savoir x=y=z=0 (et ceci quelque soit la valeur de m).
Donc LA question, c'est de savoir si c'est la seule solution ou s'il y en a d'autres.

Et lorsque m=0, effectivement, il y a une infinité de solutions : on peut prendre deux des variables (par exemple y et z) totalement "au pif", mais par contre, ensuite il n'y a plus le choix : on doit prendre x=-y-z.

Ensuite pour "exprimer" les différentes solutions, ben on peut écrire un peu ce qu'on veut, par exemple :
(1) Les solution, c'est x = -y-z avec y et z quelconques dans R.
(2) Les solutions, c'est x = -y-z ; y = y ; z = z avec y et z quelconque dans R.
(le fait d'écrire les solutions comme ça avec les deux équations y=y et z=z qui ne servent à rien c'est pour avoir systématiquement 3 équations et pas moins, c'est une habitude pas con à prendre tout de suite vu que ça te sera pas mal utile une fois que tu attaquera les sous espaces vectoriels et les bases)
(3) Les solutions, c'est les triplets (x ; y ; z) = (-y-z ; y ; z) avec y et z quelconques
(4) S = {(-y-z ; y ; z) avec y et z quelconques dans R}

A toi de voir quelle version tu trouve la plus compréhensible pour exprimer les solutions.