Résolution de récurrence homogène

[Dylaa2n]

Bonjour,

On me demande dans un exercice de résoudre la récurrence suivante : en sachant que



Je commence par penser qu'il existe des solutions du type progression géométrique en disant que :


Je substitue alors dans l'équation qui nous est donnée au début et j'obtiens:

et donc :





Pour aboutir au final à :



J'effectue ces opérations comme nous l'avons toujours fait au cours (comme par exemple pour résoudre la récurrence liée au problème du nombre de Fibonacci) mais le problème est que, d'habitude, nous tombons sur une équation du second degré en r où nous pouvons trouver les valeurs réelles de

Ma question est donc la suivante : Comment peut-on poursuivre la résolution de ce problème sachant que nous allons trouver des "valeurs complexes" pour et donc une valeur pour comprenant une partie réelle et une partie imaginaire...

Merci

[Ben314]

Ma question est donc la suivante : Comment peut-on poursuivre la résolution de ce problème sachant que nous allons trouver des "valeurs complexes" pour et donc une valeur pour comprenant une partie réelle et une partie imaginaire...

Salut.
Question simple -> Réponse simple...
Tu fait exactement la même chose que d'habitude et, à la fin, si tu ne t'est pas trompé dans les calculs, tu doit tomber sur un truc qui est systématiquement réel (donc pas de partie imaginaire) mais ce n'est pas toujours super évident à voir que le résultat en question est toujours réel.

Exemple (le plus simple possible) : .
La suite est assez triviale : c'est 2,0,-2,0,2,0,-2,0,2,0,-2...
et le calcul montre que...

EDIT : dans ton truc, les solutions de sont et qui vérifient tout les deux ce qui signifie qu'en fait (formule qu'on peut d'ailleurs directement déduire de la formule de récurrence de départ) donc : ta suite est périodique de période 6.

[Ben314]

Ma question est donc la suivante : Comment peut-on poursuivre la résolution de ce problème sachant que nous allons trouver des "valeurs complexes" pour et donc une valeur pour comprenant une partie réelle et une partie imaginaire...

Salut.
Question simple -> Réponse simple...
Tu fait exactement la même chose que d'habitude et, à la fin, si tu ne t'est pas trompé dans les calculs, tu doit tomber sur un truc qui est systématiquement réel (donc pas de partie imaginaire) mais ce n'est pas toujours super évident à voir que le résultat en question est toujours réel.

Exemple (le plus simple possible) : .
La suite est assez triviale : c'est 2,0,-2,0,2,0,-2,0,2,0,-2...
et le calcul montre que...

EDIT : dans ton truc, les solutions de sont et qui vérifient tout les deux ce qui signifie qu'en fait (formule qu'on peut d'ailleurs directement déduire de la formule de récurrence de départ) donc : ta suite est périodique de période 6.

[Dylaa2n]

Merci pour ta réponse.

Si j'ai bien compris, il est donc normal d'obtenir une expression de contenant une partie imaginaire, qui n'apparaîtra plus dès qu'on aura remplacé le n par un entier quelconque(comme dans ton exemple ) ??

Et peux-tu juste m'expliquer comment tu déduis que :

et que


grâce à:

EDIT : dans ton truc, les solutions de sont et qui vérifient tout les deux ce qui signifie qu'en fait (formule qu'on peut d'ailleurs directement déduire de la formule de récurrence de départ) donc : ta suite est périodique de période 6.

Merci beaucoup! :happy2:

[Ben314]

Pour aboutir au final à :

vu que

[Dylaa2n]

vu que

Super, merci beaucoup :happy2: