Résolution polynôme ax^k+bx+c avec k restant abstrait

[Elsa612]

Bonjour à tous,

Je voudrais savoir s'il est possible de donner une solution à ce polynôme :
ax^k+bx+c ,

en gardant k en tant que variable.
Merci par avance.

[hdci]

Bonjour,

Qu'est-ce que c'est, une "solution à un polynôme" ?

Un polynôme, c'est une fonction.

Une solution se rapporte à une équation ou une inéquation, c'est-à-dire une réponse à une question portant sur une égalité ou une inégalité.

Potentiellement, je "crois" comprendre que la question est : est-il possible de donner une solution générale à l'équation en suivante : ? (sans oublier de préciser )
Ou bien posée différemment : existe-t-il des formules donnant les racines du polynôme ?

Dans le cas k=2, la réponse est oui

• discriminant , si tout se passe dans on regarde le signe de
• si pas de solutions,
• si une ou deux solutions données par

Dans les cas ou , la réponse est également affirmative (mais je ne connais pas les formules)

Dans le cas , Evariste Galois a démontré qu'il n'y a vait pas de formules générale systématique pour résoudre une équation du 5ème degré. Ici c'est particulier car il n'y a pas d'exposant intermédiaires entre 1 et k.

Une petite recherche sur google permet d'avoir par exemple ceci dans le cas k=5 (une condition nécessaire et suffisante sur et :
[url]https://fr.wikipedia.org/wiki/Équation_quintique[/url]

[Elsa612]

Bonjour Hdci,

Merci beaucoup pour cette réponse. La reformulation correcte était effectivement nécessaire et c'est bien ça que je cherchais (=0). Après ré-étude de mon problème, la variable k prend les valeurs de l'intervalle ]0 ; 2[. Et k est une variable continue et pas discrète. Je pense donc qu'il n'y a pas de formule générale pour trouver les racines de ce polynôme. Seule la valeur particulière de k=1 se résout facilement.

[FLBP]

Salut,

Pour certain cas, il est encore possible de trouver une formule, par exemple pour :
et
on effectue un changement de variable:

et on tombe sur une polynôme du second degré:

Qui se résout facilement. (Sans oublier de faire le passage de à et de vérifier que )
Sinon, les cas ou se résolvent aussi avec des changements de variables.
Pour les autres cas, il est possible d'approcher les solutions avec des méthodes numériques.

Cordialement.