Résolution matriciel

[idriss789456]

M3(R) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3, à coef. réels

Partie 1 :

Soit les matrices et
Objectif : Montrer que les équations suivantes dans M3(R) : ont respectivement 8,1 et 0 solutions.

Soient y1, y2 et y3 trois réels distincts. On pose
1) Montrer que M . = . M ssi M est diagonale avec M appartient à M3(R)


2) Soit M et A qui appartiennent à M3(R) et k à N*. Montrer que si alors M.A=A.M.


3) Trouver la forme et les solutions explicites des équations.


Partie 2 :

Soient les matrices et
Objectif : Montrer que les équations suivantes dans M3(R) : ont respectivement 8,1 et 0 solutions à l'aide des résultats précédents.

1) Montrer que les valeurs propres de T_1 sont les réels 1,2 et 3.


2) On considère V1, V2 et V3 les vecteurs propres associés aux valeurs propres. Montrer que ces 3 vecteurs forment une base de R^3


3) Expliquer pourquoi si P désigne la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs V1, V2 et V3 dans la base canonique de R^3, alors on a la relation : avec D_1 la matrice de la partie 1.

concernant l' exercice je bloque sur la partie 1 n°4 et sur la partie 2 n°2 pourriez vous m'aides svp merci .

[Ben314]

Salut,
Bon, ben on va déjà commencer par mettre un énoncé avec des vrai question et pas avec des blancs à chaque endroit où il y a des info importantes (je comprend pas comment tu pouvait imaginer que qui que ce soit réponde à ton truc où y'a rien dedans...)

M3(R) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3, à coef. réels

Partie 1 :

Soit les matrices et
Objectif : Montrer que les équations suivantes dans M3(R) : ont respectivement 8,1 et 0 solutions.

Soient y1, y2 et y3 trois réels distincts. On pose
1) Montrer que M . = . M ssi M est diagonale avec M appartient à M3(R)

2) Soit M et A qui appartiennent à M3(R) et k à N*. Montrer que si alors M.A=A.M.

3) Trouver la forme et les solutions explicites des équations.

Partie 2 :

Soient les matrices et
Objectif : Montrer que les équations suivantes dans M3(R) : ont respectivement 8,1 et 0 solutions à l'aide des résultats précédents.

1) Montrer que les valeurs propres de T_1 sont les réels 1,2 et 3.

2) On considère V1, V2 et V3 les vecteurs propres associés aux valeurs propres. Montrer que ces 3 vecteurs forment une base de R^3

3) Expliquer pourquoi si P désigne la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs V1, V2 et V3 dans la base canonique de R^3, alors on a la relation : avec D_1 la matrice de la partie 1.

4) Soit M qui appartient à M3(R) et k à N*. Montrer que , ssi . En déduire le nombre de solutions des 2 premières équations.

Concernant l' exercice je bloque sur la partie 1 n°4 et sur la partie 2 n°2 pourriez vous m'aides svp merci .

Ensuite,
- Ben déjà, y'a pas de n°4 sur la partie 1.
- Tu as trouvé quoi comme vecteurs propres V1,V2,V3 ? (et y'a une grosse boulette dans l'énoncé vu que dans "LES vecteurs propres associés..." ça déconne : DES vecteurs propres associés à..., y'en a plusieurs)

[idriss789456]

je suis désole pour l’incompréhension , c’est la premières fois que je me diriges vers un forum . pour me reformuler , j'ai du mal à resoudrer l'exercice n°3 de la partie 1 et l'exercice n°2 de la partie 2.

pour les vecteur propres j'ai pose la condition pour m à une matrice diagonales à coefficient quelconque "a , b,c" apres j'ai applique le produit des deux matrice M.Dx1x2x3 en utilisant la formule du det(A-Ilamba)=0 et je trouve a1=1 a2=2 et a3=3

[idriss789456]

je n'est pas bien compris votre reponse

[Ben314]

Concernant le 3. de la partie 1) il faut utiliser le 2 et comencer par regarder à quelle condition une matrice quelconque M=(a b c....) commute avec une matrice Dy1y2y3 : tu devrait trouver qu'il y a très peu de telle matrice et ensuite tu regarde, parmi ces matrices, lesquelles vérifient en plus M^=D1 ou bien M^15=D1 ou bien M^2=D2 afin de répondre àla question posée.

Concernant le 2. de la partie 3), tout ce qu'il y a à connaitre, c'est (bien évidement) la définition de ce qu'est un "vecteur propre" associé à une matrice. Avec ça tu trouve tes 3 vecteurs propres et a mon avis on te demande ensuite uniquement de vérifier "à la main" que c'est une famille libre (il y a aussi une preuve théorique qui permet, sans même les calculer, des savoir que ça sera forcément le cas, mais vu la formulation de la question, je ne pense pas que ce soit ça qui est attendu)

[idriss789456]

merci ben effectivement en cherchant j'ai pu trouves les resultats de la partie 2.3