MODELISATION MATHEMATIQUES L2 SM405 2020-2021, 2eme semestre PROJET-TAI (μa rendre imp¶erativement avant le 28/05/2021, minuit)
"HAUTE VOLTIGE"
Un trap¶eziste accroch¶e aμ un trapμeze volant, est mod¶elis¶e par un pendule double, constitu¶e d'un pendule simple de masse 1 et de longueur 1, auquel est accroch¶e un second pendule simple de masse 2 et de longueur 2 le tout ¶etant soumis μa une force de pesanteur (les masses 1 et 2 ¶etant suppos¶ees ponctuelles) [voir ̄gure en p2].
Le problμeme des trap¶ezistes consiste μa r¶egler les divers paramμetres, de fa»con μa obtenir une trajectoire (quasi) p¶eriodique.
On note 1() et 2() les positions angulaires (par rapport aμ la verticale) μa l'instant , des masse 1 et 2, et 10 () et 20 () les vitesses (angulaires) correspondantes.
Le systμeme di®¶erentiel de deux ¶equations di®¶erentielles du second ordre, en les fonctions inconnues 1() et 2() auquel est soumis ce dispositif est donn¶e par :
8><>:(1 + 2)200 () + 212 cos(1() ¡ 2())00 () + 212 sin(1() ¡ 2())02() + (1 + 2)1 sin(1()) = 0 >1122
cos( ()¡ ())00()+ 200()¡ sin( ()¡ ())02()+ sin( ())=0 212121222212121222
>0
avec les conditions initiales: 8><
>: 1 ( 0 ) = 1 0 2(0) = 20 > > 10 ( 0 ) = 10 0 20 ( 0 ) = 20 0
a) Transformer ce systμeme de 2 ¶equations di®¶erentielles du second ordre en les fonctions inconnues 1(), 2() en un systμeme de 4 ¶equations di®¶erentielles du premier ordre, en les fonctions inconnues 1(), 2() 3(), 4() ouμ on a pos¶e 3() = 10 () et 4() = 20 ().
On posera = 1 et on montrera qu'on a :
12[1 + 2 sin2(1() ¡ 2())] 8>< 10 () = 3()
> 0 () = 4() > 2
30 () = [¡(1 + 2)2 sin(1()) + 22 sin(2()) cos(1() ¡ 2())
>: 222
> ¡212 sin(1()¡2())cos(1()¡2())3()¡22 sin(1()¡2())4()] > 40 () = [(1 + 2)1 sin(1()) cos(1() ¡ 2()) ¡ (1 + 2)1 sin(2())
+(1 + 2)21 sin(1() ¡ 2())32() + 212 sin(1() ¡ 2()) cos(1() ¡ 2())42()]
b) Rappeler pour ce systμeme di®¶erentiel les sch¶emas (explicites) suivants: i) Euler
ii) point milieu (ou Euler am¶elior¶e) iii) Heun (ou trapμeze am¶elior¶ee) iv) RK4 (**)
c) Simuler ce systμeme gr^ace μa un programme Matlab permettant de comparer, en les tra»cant sur un m^eme graphe, sur une dur¶ee , et avec points de discr¶etisation, la solutions approch¶ee 2() de ce systμeme di®¶erentiel, pour les quatre sch¶emas pr¶ec¶edents.
[Ce programme pourra accepter comme entr¶ees, en plus de et des conditions initiales, les paramμetres 1 2 1 2 On pourra prendre = 1]
d) Exprimer les coordonn¶ees () et () de la masse 2, en fonction de 1() et 2() et tracer gr^ace aux sch¶emas pr¶ec¶edents la trajectoire (()()) de la masse 2. Conclusions ?
e) On testera en particulier la sensibilit¶e aux conditions initiales, et le passage vers une ¶evolution chaotique pour des conditions initiales bien choisies.
f) R¶esoudre le problμeme des trap¶ezistes : avec 1(0) = y2(0) = 2 et 1 = 1, comment choisir 2 pour que le systμeme soit (quasi) p¶eriodi
Résolution équation
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