Résolution d'équation

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manou11
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résolution d'équation

par manou11 » 09 Nov 2020, 20:54

Bonjour à tous,
j'aurais aimé avoir une indication ou un conseil afin de pouvoir débuter mon exercice.
L'énoncé est tel que : Montrer qu'il existe un x appartenant à ] 0; +∞[ tel que : 2^x + 3^x =10^x.

J'ai d'abord pensé à utiliser une fonction f telle que : f(x)= 2^x +3^x -10^x et ensuite déterminer f(x)=0
Cependant, je ne sais résoudre uniquement des équations du type a^x=k avec k un entier or ici ce n'est pas le cas :(
Si qqn pense à une solution ou juste une piste pr pouvoir avancer sur mon exercice, faites le moi parvenir :)
Merci d'avance,
bonne soirée



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Re: résolution d'équation

par Sa Majesté » 09 Nov 2020, 21:02

Quelles sont les limites de f aux bornes de son domaine de définition ?

manou11
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Re: résolution d'équation

par manou11 » 09 Nov 2020, 21:16

Sa Majesté a écrit:Quelles sont les limites de f aux bornes de son domaine de définition ?


Merci pour votre réponse,
on a lim f(x) qd x tend vers -∞ =0 et lim f(x) qd x tend vers +∞ = -∞ (?) pas sûre de la deuxième limite

Et comment pourrais-je me servir de ces limites car j'ai trouvé la solution par tatonnement mais je ne vois pas comment mener une démarche rigoureuse

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Re: résolution d'équation

par Sa Majesté » 09 Nov 2020, 21:20

Je parlais de ] 0; +∞[ puisque :
manou11 a écrit:Montrer qu'il existe un x appartenant à ] 0; +∞[ tel que : 2^x + 3^x =10^x.

manou11
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Re: résolution d'équation

par manou11 » 09 Nov 2020, 21:24

Sa Majesté a écrit:Je parlais de ] 0; +∞[ puisque :
manou11 a écrit:Montrer qu'il existe un x appartenant à ] 0; +∞[ tel que : 2^x + 3^x =10^x.


Erreur d'inattention de ma part désolé,
on a alors : lim f(x) qd x tend vers 0= 1 et lim f(x) qd x tend vers +∞ = - ∞

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Re: résolution d'équation

par Sa Majesté » 09 Nov 2020, 21:25

Oui et donc ?

manou11
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Re: résolution d'équation

par manou11 » 09 Nov 2020, 21:32

Sa Majesté a écrit:Oui et donc ?


Je pourrais alors peut- être utiliser le théorème des valeurs intermédiaires en précisant que f est continue sur son domaine de définition. Cependant, ne manquerait-il pas le critère de monotonie de la fonction ?

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Re: résolution d'équation

par Sa Majesté » 09 Nov 2020, 22:52

Tu n'as pas besoin de la monotonie, la continuité suffit car ce qu'on te demande c'est :
manou11 a écrit:Montrer qu'il existe un x appartenant à ] 0; +∞[ tel que : 2^x + 3^x =10^x.

et non pas
manou11 a écrit:Montrer qu'il existe un unique x appartenant à ] 0; +∞[ tel que : 2^x + 3^x =10^x.

Il existe un x signifie il existe au moins un x

manou11
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Re: résolution d'équation

par manou11 » 10 Nov 2020, 00:31

Sa Majesté a écrit:Tu n'as pas besoin de la monotonie, la continuité suffit car ce qu'on te demande c'est :
manou11 a écrit:Montrer qu'il existe un x appartenant à ] 0; +∞[ tel que : 2^x + 3^x =10^x.

et non pas
manou11 a écrit:Montrer qu'il existe un unique x appartenant à ] 0; +∞[ tel que : 2^x + 3^x =10^x.

Il existe un x signifie il existe au moins un x


Ah oui! Je comprends bien alors la subtilité.
Merci beaucoup pour le temps que vous m'avez consacré,
bonne soirée à vous

 

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