Résolution d'équation.

[minos]

Bonjour tout le monde,

Je suis resté bloquer toute la journée sur cette équation qui pour vous va sembler assez facile à résoudre.

J'essaie de trouver l'inconnue r de cette équation. Je ne trouve aucune solution analytique :s



Merci de votre aide

[nuage]

Salut,
tu peux poser
et tout devient facile.

[minos]

Salut,

Je fais comment pour les exposants à chaque fois :s
J'ai fait une faute dans le code latex, il s'agit bien d'exposant. désolé

[zygomatique]

salut

pas convaincu que ce soit facile ...

j'aurai poser puisque

mais je ne dis pas que ce soit plus facile ....

[Lostounet]

Salut,

Je pense pas que ce soit facile d'exprimer r de manière exacte.
En divisant les deux membres par 1200:



Le membre de droite est alors la somme de termes d'une suite géométrique de raison

De somme

Par produit en croix, comme q = 1 ne convient pas:


Qui peut se résoudre en utilisant la méthode de Ferrari (calculatoire)... Il faut d'abord faire un changement de variable pour éliminer le terme en q^3 puis interposer des identités remarquables etc... Tu peux t'inspirer de: lycee/resoudre-equation-dans-t184635.html
Mais tu vas pas échapper à la méthode de Cardan qui t'attend au milieu. Bref, c'est pas facile.


Sinon, on dispose de l'approximation: q≈0.97871856589

Si tu veux vraiment la valeur exacte, prends la valeur de q ci-dessous et remplace:


r ~ 0.08985

Quelqu'un pour confirmer ces valeurs?

[zygomatique]

si r est petit on peut utiliser une approximation affine (dl à l'ordre 1) qui donne :



un dl à l'ordre 2 améliorerait l'approximation ... mais bon avec les solveurs actuels autant chercher directement une solution approchée ""exacte""

[chan79]

r ~ 0.08985

Quelqu'un pour confirmer ces valeurs?

Salut Lostounet
Geogebra confirme ton résultat:

[SAGE63]

Bonjour MINOS

Cette équation est- elle la solution d'un problème de mathématiques financières ?

[SAGE63]

Bonjour LOSTOUNET

La vérification donne :
avec :

r = 0,08985

on a :
(1+r) = 1,08985
(1+r)⁰ʼ²⁵ = 1,021743026
(1+r)⁰ʼ⁵⁰ = 1,043958811
(1+r)⁰ʼ⁷⁵ = 1,066658

et

1 / (1+r) = 0,9175575
1 / (1+r)⁰ʼ²⁵ = 0,9787197
1 /(1+r)⁰ʼ⁵⁰ = 0,9578922
1 /(1+r)⁰ʼ⁷⁵ = 0,9375079

On obtient :

4 550,00 = 1 200,00 ( 0,9787197 + 0,9578922 + 0,9375079 + 0,9175575 )
4 550,00 = 1 200,00 * 3,7916773
4 550,00 = 4550,012724

résultat approché à 0,012724

[minos]

Merci pour vos réponses précises. Oui il s'agit bien d'un problème financier où l'exercice consiste à trouver le taux d'intéret r.
Ne disposant pas de licence en math, je pensais qu'il était possible de trouver l'inconnue à travers diverses simplifications.

Je dois dire que j'aurais été incapable de trouver la solution.

Je vous remercie tous.

[Lostounet]

Ne disposant pas de licence en math, je pensais qu'il était possible de trouver l'inconnue à travers diverses simplifications..

Re,
Disons que c'est possible mais comme tu l'as vu.. c'est pas pratique et pas immédiat!

Bonne chance

[chan79]

si r est petit on peut utiliser une approximation affine (dl à l'ordre 1) qui donne :

salut
tu as mis 4450 au lieu de 4550
Avec 4550, la valeur approchée n'est pas trop mal: 1/12 soit 0.08333

[zygomatique]

ha damned ... j'étais étonné de cette valeur approchée ... pas si approchée que ça !!! surtout pour une valeur aussi proche de 0 ...

maintenant tu me rassures ...