Résolution 'équation (nombre complexe)

[emma18]

Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre l'équation suivante: z^4-z^3+z^2-z+1=0
Je pense qu'il faut factoriser, mais je n'ai pas trouvé de racine évidente.
J'ai aussi pensé à utiliser la forme x+iy, mais cela complique d'avantage l'équation!
:help:

[Stephanelam]

Je ne vois pas de racine évidente non plus, ni de factorisation possible.
Curieux de voir la réponse ...

[Black Jack]

Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre l'équation suivante: z^4-z^3+z^2-z+1=0
Je pense qu'il faut factoriser, mais je n'ai pas trouvé de racine évidente.
J'ai aussi pensé à utiliser la forme x+iy, mais cela complique d'avantage l'équation!
:help:

z^4-z^3+z^2-z+1 est une somme de 5 termes en progression géométrique de raison -z et de premier terme = 1 --->

Et donc z^4-z^3+z^2-z+1 peut s'écrire ...

:zen:

[emma18]

Merci beaucoup, j'étais à mille lieues des suites géométriques! :we:
donc, sauf erreur de ma part, on obtient l'équation:
(-z)^5=1
ce -z me dérange. si z^5=1, les solutions sont, il me semble,les racines cinquièmes de 1.
ici, les solutions seraient les opposés des racines cinquièmes de 1? (tout simplement? :doh: )
Je suis désolée pour la probable naïveté de mes questions, mais on vient juste d'aborder les racines nièmes, et je ne maitrise pas tout très bien :triste:

[Black Jack]

z^4-z^3+z^2-z+1 = ((-z)^5 - 1)/(-z-1)

Donc les solutions de z^4-z^3+z^2-z+1 = 0 sont celles (différente de -1) de (-z)^5 = 1, donc de z^5 = -1

z^5 = -1 (avec z différent de -1)

z^5 = e^(i.(Pi + 2k.Pi)) avec k dans Z

z = ...

:zen:

[ffpower]

Cela dit, les opposés des racines 5-iemes de l'unité, ca marche aussi, oui..

[emma18]

Merci beaucoup!

du coup, les solutions sont de la forme:
z = e^(i(II/5)+2kII/5), tel que k appartienne à (0,1,2,3,4)?
on a alors:
S=( e^i(II/5) , e^i(3II/5) , e^i(6II/5) , e^i(9II/5) ) ?

[ffpower]

Oui c'est ca :we:

[emma18]

Youhou!! merci à tous :ptdr: