Resolution equation complexe

[lharmonica]

Bonjour.
J'aimerais connaitre la technique qui permet de resoudre dans C, les equations du style :

z^n = a, z un nombre complexe et a un reel.

exemple : z^5 = 3.

Doit-on mettre z sous forme algébrique ( x+iy ) ? et developper ( je ne pense pas lol ) ?

Merci d'avance les matheux !

[emdro]

Bonjour,

Surtout pas! La forme algébrique s'entend très mal avec les puissances (sauf si tu aimes les développements)

Utilise la forme exponentielle qui s'entend beaucoup mieux avec ^!

[lharmonica]

merci
Je vais essayer ça alors !

[emdro]

En bref z^5=3
donne (r e^(it))^5=3
r^5 e^(5it)=3

donc r^5=3 et 5t=0 modulo 2 Pi
r=racine cinquième de 3 et t=0 modulo 2Pi/5

Il y a donc 5 racines cinquièmes de 3 dans C.

[lharmonica]

Alors en fait, moi j'ai trouvé |z| = racine 5ème de 3. comme toi.

Par contre l'argument de z, je ne comprend pas.
La partie imaginaire de z étant nulle, il s'agit d'un reel situé sur l'axe des abscisse. e^i0 = 1, donc z=|z|.
Je dirais qu'il n'y a qu'une racine, explique moi pourquoi j'ai faux !!!! :stupid_in

[emdro]

Regarde ce que j'ai mis en rouge dans le post précédent.

t=0 ou t=2Pi/5 ou t=4Pi/5 ou t=6Pi/5 ou t=8Pi/5!

[lharmonica]

Ah d'accord, cette histoire de modulo pour resoudre une equation complexe me semble nouvelle !!! Mais j'ai compris, je vais donc essayer avec d'autres exemples maintenant je posterai ma reponse ensuite. Merci emdro !