Résolution équation complexe

[almavivaa]

Bonjour,

J'ai un DM à faire en maths, et je n'arrive pas un exercice.

Voici l'exo :
1) Résoudre dans C : F² = 32i
2) En déduire les solutions dans C de E : z²+(2-2i)z-10i = 0

Pour la question 1) je ne pense pas avoir bon, mais j'ai fais ça :
F² = ( ;)(32i)²), donc soit F = ;)(32i), ou F = - ;)(32i)

Ensuite pour la suite je bloque.

Vous pouvez m'aider svp ? :)

[Nightmare]

Salut,

quel sens donnes-tu à ? Qu'est-ce qui te permet de prendre la racine carrée de 32i ? Et qu'est-ce que ça vaut?

[almavivaa]

En fait j'ai réussi à trouvé (avec de l'aide) deux solutions : x=y=4 et x=y=-4
Du coup je trouve F=4+4i ou F=-4-4i.
C'est bien ça ?

[Nightmare]

Eh bien, a-t-on bien F²=32i dans les deux cas?

[almavivaa]

Oui c'est parfait :we: .

Et pour la question 2) c'est bien z1 = -3-3i et z2 = 1+i ?

[Nightmare]

Qu'est-ce que ? Encore une fois, tu veux utiliser un résultat du cours, en l'occurrence la méthode du discriminant, mais tu en oublies une nouvelle fois les hypothèses, à savoir que ces formules sont valable a priori pour une équation du second degré à coefficients réels, mais rien ne dit dans ton cours que ça reste valable dans les complexes.

Il s'avère que c'est le cas, mais pour le voir il faut redémontrer cette formule du discriminant, en repassant par la forme canonique etc. Cela dit, en admettant que le discriminant ait un sens et soit bien b²-4ac, tu t'es trompé dans tes calculs, moi j'obtiens bien 32i !

Edit d'effacer tes messages, ça m'évitera de répondre dans le vent la prochaine fois :lol3:

[almavivaa]

Oui désolé je me suis rendu compte de l'erreur.

Donc normalement il faudrait démontrer que le discriminant vaut bien b²-4ac pour les complexes aussi ?

[Nightmare]

Oui et non, en fait la question ne se pose pas ainsi. Après tout, on pourrait appeler discriminant à peu près n'importe quoi, donc "démontrer que le discriminant vaut bien b²-4ac" n'a pas de réel sens, puisqu'on ne sait pas ce qu'est le discriminant à priori pour un polynôme complexe.

Donc la bonne chose à faire serait plutôt de démontrer que les formules des racines fournies par la méthode du discriminant dans le cas des polynômes du second degré réels marchent encore dans le cas où l'on s'étend à . Pour ça, on a pas d'autre choix que de réécrire la démonstration des formule, obtenues dans le cas réel par la factorisation canonique puis par l'identité a²-b², en travaillant cette fois-ci avec des complexes, en montrant que ça marche quand même.

On part donc de notre équation az²+bz+c=0, on se ramène à la forme (z-d)²-e = 0 qu'on factorise par x²-y²=(x-y)(x+y), sachant qu'on a ici bien montré qu'on pouvait trouver y tel que y²=e.

[almavivaa]

Ouh la la :doh: ^^

Je ne suis qu'en IUT, donc je vais m'abstenir de démontrer...

Merci beaucoup pour l'aide

[Nightmare]

IL n'y a rien de compliqué, c'est ce qu'on fait en 1ère ! La méthode du discriminant sur R elle n'est pas magique, elle découle juste d'une factorisation très simple, et du fait qu'on ait la notion de racine carrée. C'est la même chose dans C.

[almavivaa]

Je ne m'en rappelle pas.

Je verrais si j'ai le courage de faire ça

[Nightmare]

Je ne m'en rappelle pas.

Et c'est malheureusement le cas de la plupart des élèves, on a tendance à apprendre les méthodes sans savoir d'où elles viennent, ce qui empêche du coup de savoir les retrouver, et surtout est un frein à leur compréhension. Si tu veux mieux comprendre tes cours de maths, je ne peux que te conseiller de bien lire et essayer de comprendre les démonstrations, c'est la clé pour comprendre ce qui est démontré :lol3:

[Ben314]

Salut,
Juste une petite remarque : il est possible que ton prof ait déjà fait cette preuve en cours (i.e. que la méthode vue au lycée avec des réels marche avec des complexes, modulo de remplacer le "racine de Delta" par un "d tel que d²=Delta" car on n'écrit jamais la racine d'un nombre complexe...)
Si c'est le cas, tu peut effectivement "appliquer bètement" le résultat, mais c'est très dommage de ne pas se rappeler de la preuve qui est quasiment plus courte que l'énoncé du théorème et qui te permettra de mieux comprendre ce que l'on fait toutes les fois où on applique une méthode similaire dans un cas différent.

[almavivaa]

Merci du conseil :happy2: :space: