Résolution d'équation assez dure

[Racket]

Bonsoir,

Dans le cadre d'un projet de maths qui commence par un peu de mécanique, je dois résoudre une équation (sur laquelle j'ai déjà effectué des simplifications vérifiées plusieurs fois).

Je dois exprimer y en fonction de a (pour ceux qui sont curieux du contexte, il s'agit de trouver les points d'équilibre d'un système physique dont l'un des paramètres qui contient les conditions initiales est a).

Voici l'équation :

racine(1+y²) + y*racine(1+y²) = ay

ça semble simple comme ça mais apparemment ça ne l'est pas tant que ça.

On peut mettre au carré pour virer les racine, auquel cas on obtient:

1+y² + 2y(1+y²) + y²(1+y²) = a²y²

équivalent à

1+2y+2y²+2y^3+y^4 = a²y²

Cela ne m'avance pas.

Je ne suis pas une bête en maths (loin de là) et je dois avouer que de façon générale j'ai un manque d'intuition.

Alors soit c'est très simple d'écrire y = f(a) auquel cas ce serait cool de m'expliquer ma stupidité, soit c'est dur (donc pas de honte).

Merci pour toute aide :)

Bonne soirée :hein:

[Ben314]

Salut,
Pour les équations "générales" du 4em degrés, il y a les méthodes de ferarri (mais c'est du "trés lourd"....)
Sauf que, si tu ne t'est trompé nulle part, ton équation est
1+2y+(2-a²)y²+2y^3+y^4 = 0
et elle corespond à un polynôme "réciproque" (il me semble que c'est comme ça que ça s'apelle) c'est à dire que
coeff(y^0)=coeff(y^4) et coeff(y^1)=coeff(y^3)

Ce qui signifie que tu doit arriver à grandement simplifier l'équation en posant Z=y+1/y.
Tu as alors Z=(y²+1)/y et Z²=(Y^4+2y²+1)/y² et, en divisant ton équation par y², tu doit arriver à l'écrire comme un polynôme du second degrés en Z => tu sait résoudre et tu trouve les Z possibles
Ensuite, tu n'as plus qu'a chercher les y tels que y+1/y=Z (c'est de nouveau du second degré)

[Racket]

Merci de la réponse je vais regarder ça ce matin, je te tiendrai informé du résultat.

[SlowBrain]

Et au lieu de chercher y en fonction de a, il parait plus simple de trouver quel a est possible pour y fixé.

[Racket]

Non, l'énoncé remplace a par une valeur fixe par la suite, mais la question demande bien de trouver les points d'équilibre en fonction de a.

On a enfin trouvé la solution, merci beaucoup pour l'aide.

[SlowBrain]

Oui, mais trouver les y en fonction de a est faisable si on connais les solutions possibles de a en fonction de y ;) Traduction par des mots : tu souhaites trouver des points d'équilibre pour un a donné, alors tu peux soit résoudre ton équation comme tu as fait, soit tester les y et obtenir une condition sur a et ainsi trouver quels y conviennent (ce qui semble bien plus rapide que de résoudre une équation de degré 4)

[Ben314]

En fait, le changement de variable "astucieux" pouvait se voir plus tot :

si
où

[numerical]

La forme générale de cette équation est:

a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a = 0 (a différant à 0)

et on utilise toujour le changement de variable y = x + 1/x pour réduire l'ordre de l'équation de 4 à 2.

Bonne chance

[SlowBrain]

Oui, c'est le changement de variable que Ben a exhibé. Remarquons qu'il est préférable de le "voir" comme il l'a montré que d'apprendre toujours plus de méthodes par cœur (sauf si on est en prépa...)

[numerical]

SlowBrain, vous avez bien raison.

[Racket]

Merci à tous, le problème est résolu et les calculs sont plus propres vu qu'on factorise avant (merci Ben).

Bonne soirée :)