Résolution éq. diff. linéaire ordre 2 à coeff. constant

[Pix]

Bonjour,

Je suis bloqué pour résoudre l'équation différentielle suivante : y'' + 2y' + ay = x avec a un paramètre réel.

Je fais mon delta, je vois qu'il sera positif, négatif ou nul suivant que a soit plus petit, égal ou plus grand que 1.

Puis je cherche une solution particulière mais en regardant la solution, je vois ceci :

- si a =/= 0, cherchons une solution particulière de la forme y0= px + q (puis on la dérive deux fois et on cherche p et q)
- si a = 0, cherchons une solution particulière de la forme y0= px^2 + qx + r (puis on la dérive deux fois et on cherche p et q)

Je ne comprends pas pourquoi on regarde a égal à 0 et pourquoi la solution particulière passe d'un degré un à deux ?

Merci,

[Vassillia]

Bonjour,

Si a est non nul, l'équation différentielle est vraiment du 2nd ordre à coefficients constants donc une solution particulière est de la "même forme" que le second membre c'est à dire un polynôme de degré 1

Si a est nul, l'équation différentielle devient , on peut trouver une primitive de chaque coté de l'égalité ce qui donne
On revient à une équation différentielle du 1er ordre à coefficients constants donc une solution particulière est de la "même forme" que le second membre c'est à dire un polynôme de degré 2

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Si simple expliqué comme ça. Merci beaucoup !

[Vassillia]

Avec plaisir, je suis ravie que tu trouves l'explication simple