Resolution congruence dans Z/nZ...

[jeje59350]

Bonjour!

j'ai quelques problemes avec la notion de résolution d'equations de congruences etc...

j'ai un exo ou on me demande de donner l'inverse de classe100 dans Z/121Z

Je suppose donc que sa revient a trouver classe100 * classeX = classe1

J'ai d'abord essayé de trouver la solution en calculant avec les classes mais cette methode ne me semble pas tres pratique à cause du grand nombre "121"!
en effet ,en cours, on simplifie un peu l'equation puis on finit par tester les multiplications dans un tableau etc... du genre :
classeX 0 1 2 3 .... 121
classe100 0 100 78 etc jusque trouver 1...

Bref j'ai fini par faire le bonne vieille methode de résolution d'equa diophantienne : 100x - 121y = 1
or je trouve x= - 121k + 23
donc l'inverse de classe100 dans Z/121Z serait classe23 ??

est-ce le bonr ésultat (j'en doute ^^)
bref j'espere que vous avez a peu pres compri mon charabia...

[leon1789]

Pour trouver l'inverse de 100 modulo 121, il suffit "certifier" que 100 est premier avec 121 par une relation de Bezout

[jeje59350]

oui donc finalment je n'ai pas eu tort de résoudre 100x+121y=1...(le - ne changeant pas grand chose je suppose...) ??

et classe23 est'elle donc bien la solution de l'inverse de classe100?

[leon1789]

Bref j'ai fini par faire le bonne vieille methode de résolution d'equa diophantienne : 100x - 121y = 1

oula ! "équation diophantienne" ... c'est un bien grand mot pour dire "relation de Bezout".

(les "vraies" équations diophantiennes sont celles de degré , un peu comme les "vraies" équations polynomiales sont celles de degré , et non les . Non ?)

or je trouve x= - 121k + 23
donc l'inverse de classe100 dans Z/121Z serait classe23 ??

C'est ok :we:

et classe23 est'elle donc bien la solution de l'inverse de classe100?

oui, c'est facile à vérifier 23 * 100 mod 121 = 1

[jeje59350]

Rhooo!!
n'etant pas un mathematicien dans l'ame je ne chipouille pas sur les termes :) !

Merci pour la réponse tres rapide...!

[leon1789]

oui donc finalment je n'ai pas eu tort de résoudre 100x+121y=1...(le - ne changeant pas grand chose je suppose...) ??

Tu n'as pas eu tort, comme tu dis :happy2:

Mais c'est quand même plus simple (mais c'est une question d'appréciation personnelle) de calculer le pgcd de 100 et 121 (et les coefficients de Bezout qui en découlent).

[jeje59350]

cependant... classe100 ne peut avoir qu'un inverse par definition...

or suivant le terme x0 que je trouve dans 100x+121y=1
j'aurais des resultats du type 121k + x0
et donc plein d'inverse de classe100, du type classex0 ...

je dit une grosse connerie??

[leon1789]

je dit une grosse connerie??

non :we:

Oui, la classe de 100 n'a qu'un inverse modulo 121, et tu l'as trouvé : c'est la classe de 23 modulo 121, c'est-à-dire tous les nombres s'écrivant 23 + 121k

Ne pas oublier qu'une classe est un ensemble de nombres.

(mais des fois, il faut aussi savoir l'oublier... un peu comme les fractions : un rationnel a/b, c'est en fait une infinité de fractions toutes égales 2a/2b, 3a/3b, etc. mais souvent, on n'y pense pas sinon ça donne mal à la tête)

[jeje59350]

d'acc!! merci beaucoup pour les petites précisions!