Résolu

[Youssef.eddajibi]

Résolu

[Robic]

Bonsoir ! On ne te demande pas de calculer P et D, juste de prouver qu'ils existent, autrement dit de prouver que F est diagonalisable. Tu dois trouver une base de vecteurs propres. Donc commence par la valeur propre 1 et vois ce que ça donne : F(u) = 1.u ssi {2x + 2y = x ; x+ 3y = y} et ainsi de suite.

Je viens de faire les calculs, c'est en effet diagonalisable. L'espace propre de 1 est engendré par le vecteur (-2 ; 1) et l'espace propre de 4 est engendré par le vecteur (1 ; 1). La matrice de passage est celle qui contient ces deux vecteurs comme colonnes. Je n'ai pas détaillé pour te laisser le plaisir de tout retrouver...

[Youssef.eddajibi]

Résolu

[Robic]

Est-ce que tu sais comment trouver des vecteurs propres associés à la valeur 1 ? Si oui, fais-le ; sinon révise-le.

[sylvainc2]

La matrice est 2x2, et elle a 2 valeurs propres distinctes. Puisque chaque valeur propre a au moins 1 vecteur propre, la matrice a donc 2 vecteurs propres linéairement indépendants. Elle est donc diagonisable. On n'a pas besoin de les calculer, sauf si c'est demandé dans l'énoncé.

[Robic]

Disons que dans ce genre d'exercice, on demande souvent de finir en exhibant la matrice de passage, mais tu as raison, ce n'est pas demandé explicitement. Donc Youssef.eddajibi a résolu l'exercice sans le savoir ! :lol3:

[Sylviel]

Je ne suis pas vraiment d'accord... On demande de diagonaliser, pas de montrer que c'est diagonalisable !

Tu as trouvé les valeurs propres (racines du polynome charactéristique) qui sont les éléments de la matrice diagonale D. Maintenant il te faut les vecteurs propre pour avoir la matrice de passage P.

Que vérifie un vecteur propre (x,y) associé à la valeur propre 1 ? Trouve une solution à cette équation...
Idem pour la valeur propre 4

[paquito]

Il y a des résultats basiques; par exemple, le sous espace propre associé à la valeur propre
est

[paquito]

Tu as, donc, et , droite vectorielle dirigée par.

et , nouvelle droite vectorielle dirigée par .

La matrice de passage obtenue sera et


je résume; on a cherché les vecteurs tels que et on a trouvé un sous espace vectoriel qui est la droite vectorielle d'équation avec comme vecteur simple ; tu peux vérifier que
On a fait la même chose avec la valeur propre 4 et on a cherché les vecteurs tels que et on a trouvé un sous espace vectoriel qui est la droite vectorielle d'équationavec comme vecteur simple ;tu peux vérifier que ;

et sont forcément linéairement indépendants et constitue une base et dans cette base la matrice de a pour colonnes et ; c'est donc la matrice quand à la matrice dont les colonnes sont les coordonnées de et elle calcule les coordonnées de la base dans la base et fait le contraire;

donc soit dans la base ; sont les coordonnées de dans (; calcule dans la base et enfin donne dans la base et tu as donc:

[Robic]

La demande initiale était « je dois maintenant prouver que A = PD(P^-1) » donc si on s'en tient à cette phrase, Sylvainc2 a raison. Mais dans mon premier message j'ai quand même indiqué la méthode pour trouver la matrice de passage (en particulier j'avais donné des vecteurs propres, sans donner le détail du calcul puisqu'on n'est pas là pour tout faire à la place). Comme Youssef.eddajibi disait n'avoir rien compris, ça se trouve il n'a pas encore vu la totalité du cours sur les espaces propres et peut-être bien qu'en effet on lui demandait juste de vérifier que la matrice de départ est diagonalisable, ce serait assez logique. (Je me demande si vous avez lu toute la discussion.)

[paquito]

Bonjour Robic,
la demande est claire, il veut calculer P et D, donc il a dû zapper une partie du cours, quand à démonter qu'une matrice est diagonalisable, ça demande des notions bien plus fine; donc je vais continuer à l'aider en expliquant pourquoi ça marche.