Résidus

[troudbibulle]

bonjour à tous et joyeux noel surtout!
voilà j'ai un petit problème au niveau des résidus.
j'ai f(z)=(pi*sin(az))/(z^3*sin(pi*z)) j'ai trouvé les poles: 0 et k (Z*)
mais je n'arrive pas à calculer le résidu de f en 0
le prof a fait des calculs avec les DL mais je pense qu'il y a une erreur quelque part donc je ne comprend pas très bien comment il arrive au résultat :
Res(f,0)=a*((pi²-a²)/6)

merci

[Nightmare]

Salut :happy3:

Tu peux écrire le développement en série de Laurent de ta fonction (qui a le bon goût d'être impair !)

[Nightmare]

Autrement, le résidu en 0 de f vaut que tu peux effectivement calculer avec des DL.

:happy3:

[MathMoiCa]

Plop !

Autrement, le résidu en 0 de f vaut que tu peux effectivement calculer avec des DL.

:happy3:

Ce ne serait pas plutôt la dérivée seconde ?

Formule générale pour le résidu en un pôle a d'ordre n :


Mais au lieu de dériver 2 fois, il est peut-être plus rapide de faire ce développement limité...


M.

[Nightmare]

Si si bien sûr, dérivée seconde, au temps pour moi !

[troudbibulle]

merci beaucoup de m'avoir répondu mais je ne comprend vraiment pas trop donc je pense que je vais laisser tomber cette partie.
merci encore

[zebullon]

J'ai une question sur cette formule que je comprends pas.


Sur la demo que je regarde la, ils posent le dev de laurent de f, multiplie a gauche par (z-a)^m , ensuite ils derivent m-1 fois de chaque cote... et la, ils ont a gauche (n-1)!a-1 + n!a0(z-a) + ...
C'est cette proprette egalite que je ne comprends pas , en derivant moult fois le cote droit moi je tombe plutot sur un truc immonde.


Et j imagine pas qu'en continuant ca s'arrange et encore la j'ai regarde qu'un terme...
J ai loupe quelque chose ?

[busard_des_roseaux]

bonjour zébulon ! :we:

est-ce qu'ils ne dériveraient pas par rapport à sous le signe somme ?

ou alors sinon,

ils utilisent la formule de dérivée n ième d'un produit (Leibniz)
et tous les termes holomorphes se simplifient, il ne reste que les méromorphes ?

[zebullon]

bonjour.

Euh je pense pas, deja je comprends pas quel serait le sens de deriver par rapport a une constante (a est un point).

Ensuite pour la formule de la derive du produit, je comprends pas ce que meromorphe/holomorphe simplifierait, tu veux dire qu'a partir d un moment les f(z-a)^-n seraient holomorphes, oki, mais tant que je prends pas leur integrales sur une courbe fermee je peux pas les virer de toute facon... si ?

Desole c est un domaine nouveau pour moi je patauge

[busard_des_roseaux]

euh , moi aussi je patauge , mais pas pour les mêmes raisons :ptdr:

si mes souvenirs sont exacts

i) quand on intégre une fonction holomorphe le long d'un lacet d'un ouvert simplement connexe
on trouve 0

ii) malheureusement les couronnes ne sont pas simplement connexes , leur est

iii) est un point du plan , certes, mais aussi une affixe (nombre complexe) et donc on peut éventuelleemnt dériver relativement à

iv) de toutes façons , pour les couronnes, tu peux toujours tout développer en série, quitte à faire des produits de Cauchy de séries, développer avec des mônomes
de la variables complexe z puis primitiver, avec un paramétrage circulaire

v) les couronnes sont tout de même "localement simplement connexes" puisque elles contiennent toujours des petits disques D(z,r) centrés en , si z est dans l' intérieur (topologique)

est-ce que dans ta formule , le chemin fait tout le tour ou bien est juste situé sur un disque local centré en z ?

[busard_des_roseaux]

je viens de regarder mon bouquin d'analyse complexe.

ce qui est certain, quand tu intégre une fonction complexe , holomorphe ou méromorphe (=avec pôles),
il faut regarder la géométrie de l'ouvert qui contient le lacet

est-il simplement connexe ou pas ? pourquoi ? parce que l'intégrale d'une fonction méromorphe
ne dépend que de la classe d'homotopie du lacet.

il faut savoir d'autre part si peut se contracter en un point ou non.

quand il démontre dans le bouquin ,la formule de Laurent, il considère deux cercles C1 et C2, inclus tous deux dans la couronne, non homotopes à un point , mais homotopiquement équivalents


Est-ce que tu n'aurais pas intérêt, pour comprendre ce qui se passe, de prendre pour f(z), un exemple simple, par exemple un monôme
ou une fraction rationnelle comme . Puis ensuite de généraliser en utilisant la linéarité de l'intégrale ?

[busard_des_roseaux]

amha, les hypothèses classiques sur est que doit avoir un pôle d'ordre k et non pas une singularité essentielle comme en z=0 ?

[zebullon]

Alors je n ai pas de soucis sur la formule de laurent qui est largement comprehensible apres avoir vu comment ils developpaient en serie de taylor pour les domaines sans singularites... J ai pas de soucis la dessus.

Mon soucis est vraiment sur la demo pour recup le residu en derivant f.

http://www.scribd.com/doc/23255417/15/Theorem-6-15-Residue-at-a-Pole-of-Order-n
Par ex la : comment on en est arrive a (3) depuis la ligne au dessus c est du puissant vaudoo.

Ensuite pour toutes les explications liees a la "topologie" du domaine en cause je suis pas en mesure de te dire si ca m aide ou pas ce que tu ajoutes. et oui sinon on parle bien d un pole et pas d une singularite essentielle.

[busard_des_roseaux]

Est-ce juste ce que l'on fait quand on décompose une fraction rationnelle en éléments simples ?

il y a un pole d'ordre n
on multiplie f par
ça élimine la singularité.
le produit est donc une série entière débutant par une constante.

on dérive cette série (n-1) fois par rapport à z, ce qui supprime ainsi les (n-1) premiers termes.
ensuite on fait tendre z vers a pour obtenir le terme constant de la série obtenue par les (n-1) dérivations.

ça n'a rien à voir avec une intégrale, juste un calcul de séries

[zebullon]

Ok merci

je vais me repencher dessus.