Residus quadratiques

[LA solution]

Bonjour tout le monde,nous venons a peine de terminer
avec le cours de résidus quadratiques,pour exercice le prof nous a propose
cet exo et il a dit qu on ferra un devoir sur ce chapitre à vendredi,tout
pour vous dire que je compte sur vous vous vous vous...................tous
surtout n oubliez pas que vous êtes mes seuls espoir
Exercice:

Soient p et q deux nbres premiers impairs
I)ON SUPPOSE q=1mod(4)
Montrer que q est un carre modulo p ssi p est un carre modulo q
II)On suppose q=3mod(4)
1.On veut montrer que si p=±b²mod(4q)ou b est un entier impair premier avec q
alors (q/p)=1
a) Montrer que (q/p)=(p/q)((-1) puiss(p-1)/2)
b) pourquoi le système de congruences suivant
x=b²mod(4)
x=b²mod(q)
admet une et une solution x modulo 4q?
c) Si p=b²mod(4q) ou b est un entier impair premier avec q; déduire des
questions a) et b) précédentes que (q/p)=1
d) Si p=-b²mod(4q) ou b est un entier impair premier avec q.
i.Montrer que p=3mod(4) et en déduire la valeur de (-1)puis(p-1)/2
ii.Montrer que (p/q)=(-1/q) et en déduire la valeur de (p/q)
iii. Montrer que (q/p)=1
2) On suppose (q/p)=1.On veut montrer que p=±b²mod(4q) ou b est un entier impair
premier avec q.
a) On suppose que (p/q)=1
i.Montrer que (-1)puis(p-1)/2=1 et en déduire que p=1mod(4)
ii.Montrer qu il existe un entier impair b, premier avec q et tel que p=b²mod(q)
iii.Montrer que p=b²mod(4q) ou b est un entier impair premier avec q
b)On suppose que (p/q)=-1
i.Montrer que (-p/q)=1
ii.Montrer qu il existe un entier impair b, premier avec q et tel que p=b²mod(q)
iii. déduire de (p/q)=-1 et (q/p)=1 que p=-1mod(4)
iv.Montrer qu il existe un entier impair b, premier avec q et tel que p=-b²mod(4)
v.Montrer qu il existe un entier impair b, premier avec q et tel que p=-b²mod(4q).

[jlb]

Bonjour tout le monde,nous venons a peine de terminer
avec le cours de résidus quadratiques,pour exercice le prof nous a propose
cet exo et il a dit qu on ferra un devoir sur ce chapitre à vendredi,tout
pour vous dire que je compte sur vous vous vous vous...................tous
surtout n oubliez pas que vous êtes mes seuls espoir
Exercice:

Soient p et q deux nbres premiers impairs
I)ON SUPPOSE q=1mod(4)
Montrer que q est un carre modulo p ssi p est un carre modulo q
II)On suppose q=3mod(4)
1.On veut montrer que si p=±b²mod(4q)ou b est un entier impair premier avec q
alors (q/p)=1
a) Montrer que (q/p)=(p/q)((-1) puiss(p-1)/2)
b) pourquoi le système de congruences suivant
x=b²mod(4)
x=b²mod(q)
admet une et une solution x modulo 4q?
c) Si p=b²mod(4q) ou b est un entier impair premier avec q; déduire des
questions a) et b) précédentes que (q/p)=1
d) Si p=-b²mod(4q) ou b est un entier impair premier avec q.
i.Montrer que p=3mod(4) et en déduire la valeur de (-1)puis(p-1)/2
ii.Montrer que (p/q)=(-1/q) et en déduire la valeur de (p/q)
iii. Montrer que (q/p)=1
2) On suppose (q/p)=1.On veut montrer que p=±b²mod(4q) ou b est un entier impair
premier avec q.
a) On suppose que (p/q)=1
i.Montrer que (-1)puis(p-1)/2=1 et en déduire que p=1mod(4)
ii.Montrer qu il existe un entier impair b, premier avec q et tel que p=b²mod(q)
iii.Montrer que p=b²mod(4q) ou b est un entier impair premier avec q
b)On suppose que (p/q)=-1
i.Montrer que (-p/q)=1
ii.Montrer qu il existe un entier impair b, premier avec q et tel que p=b²mod(q)
iii. déduire de (p/q)=-1 et (q/p)=1 que p=-1mod(4)
iv.Montrer qu il existe un entier impair b, premier avec q et tel que p=-b²mod(4)
v.Montrer qu il existe un entier impair b, premier avec q et tel que p=-b²mod(4q).

II 1b) th Chinois d'après hypothèses q et 4 sont premiers entre eux (Bezout)

[LA solution]

j ai compris pgcd(q,4)=1 puisque q est impair et premier donc premier avec 4
Mais je ne parvient pas a demontrer que l unique solution est xmod(4q)

[jlb]

j ai compris pgcd(q,4)=1 puisque q est impair et premier donc premier avec 4
Mais je ne parvient pas a demontrer que l unique solution est xmod(4q)

c'est le lemme Chinois!! quand tu as une solution, tu les as toutes modulo 4*q=4q

[LA solution]

j ai compris pgcd(q,4)=1 puisque q est impair et premier donc premier avec 4
Mais je ne parvient pas a demontrer que l unique solution est xmod(4q)

j
jai pu,regarde ma maniere
on sait que x=b²mod(4) impliq x=b² +4L et x=b²mod(q) impliq x=b²+kq en egalisant deux x on aura 4L=kq ,PGCD(4,q)=1 D APRES GAUSS 4divise Kq impliq 4 DIVISE K IMPLIQ K=4v en remplacant K par sa valeur on aurra x=b²mod(4q)

[LA solution]

mais je me demande si x =b²mod(4q) es ce que cela impliq b²=xmod(4q)?

[jlb]

mais je me demande si x =b²mod(4q) es ce que cela impliq b²=xmod(4q)?

?? oui,bien sur.

[LA solution]

donc je peut dire que la seule solution est xmod(4q) ou bien ?

[Doraki]

Tu parles de quelles questions ?

[LA solution]

BONJOUR
JE PARLE DE I) et II)a)

[jlb]

BONJOUR
JE PARLE DE I) et II)a)

bonjour, je me suis creusé la tête sur la première question et je sèche lamentablement!!! une âme charitable pour un conseil?

je ne vois pas comment à partir de p carré mod[q] (soit il existe x,a appartenant à Z tels que p=x² + aq), obtenir il existe y appartenant à Z tel que q=y² mod [p]

je sais que p premier donc il existe a' tel que a'a=1 mod [p] et d'où q=-a'x² [p] et là je bloque

comment utiliser q=1[4]? et faire apparaître que -a' est un carré?

merci pour tout conseil ou aide ( j'ai potassé Gourdon et je compends sa démonstration de la loi de réciprocité quadratique, mais là je reste bloqué) , j'ai essayé d'utiliser le fait que b est un carré [c] équivaut à b^(c-1)/2 =1 [c], c premier sans succès.

[jlb]

Bonjour tout le monde,nous venons a peine de terminer
avec le cours de résidus quadratiques,pour exercice le prof nous a propose
cet exo et il a dit qu on ferra un devoir sur ce chapitre à vendredi,tout
pour vous dire que je compte sur vous vous vous vous...................tous
surtout n oubliez pas que vous êtes mes seuls espoir
Exercice:

Soient p et q deux nbres premiers impairs
I)ON SUPPOSE q=1mod(4)
Montrer que q est un carre modulo p ssi p est un carre modulo q
II)On suppose q=3mod(4)
1.On veut montrer que si p=±b²mod(4q)ou b est un entier impair premier avec q
alors (q/p)=1
a) Montrer que (q/p)=(p/q)((-1) puiss(p-1)/2)
b) pourquoi le système de congruences suivant
x=b²mod(4)
x=b²mod(q)
admet une et une solution x modulo 4q?
c) Si p=b²mod(4q) ou b est un entier impair premier avec q; déduire des
questions a) et b) précédentes que (q/p)=1
d) Si p=-b²mod(4q) ou b est un entier impair premier avec q.
i.Montrer que p=3mod(4) et en déduire la valeur de (-1)puis(p-1)/2
ii.Montrer que (p/q)=(-1/q) et en déduire la valeur de (p/q)
iii. Montrer que (q/p)=1
2) On suppose (q/p)=1.On veut montrer que p=±b²mod(4q) ou b est un entier impair
premier avec q.
a) On suppose que (p/q)=1
i.Montrer que (-1)puis(p-1)/2=1 et en déduire que p=1mod(4)
ii.Montrer qu il existe un entier impair b, premier avec q et tel que p=b²mod(q)
iii.Montrer que p=b²mod(4q) ou b est un entier impair premier avec q
b)On suppose que (p/q)=-1
i.Montrer que (-p/q)=1
ii.Montrer qu il existe un entier impair b, premier avec q et tel que p=b²mod(q)
iii. déduire de (p/q)=-1 et (q/p)=1 que p=-1mod(4)
iv.Montrer qu il existe un entier impair b, premier avec q et tel que p=-b²mod(4)
v.Montrer qu il existe un entier impair b, premier avec q et tel que p=-b²mod(4q).

"nous venons a peine de terminer avec le cours de résidus quadratiques," vous avez appris la loi de réciprocité quadratique?

[jlb]

Bonjour tout le monde,nous venons a peine de terminer
avec le cours de résidus quadratiques,pour exercice le prof nous a propose
cet exo et il a dit qu on ferra un devoir sur ce chapitre à vendredi,tout
pour vous dire que je compte sur vous vous vous vous...................tous
surtout n oubliez pas que vous êtes mes seuls espoir
Exercice:

Soient p et q deux nbres premiers impairs
I)ON SUPPOSE q=1mod(4)
Montrer que q est un carre modulo p ssi p est un carre modulo q
II)On suppose q=3mod(4)
1.On veut montrer que si p=±b²mod(4q)ou b est un entier impair premier avec q
alors (q/p)=1
a) Montrer que (q/p)=(p/q)((-1) puiss(p-1)/2)
b) pourquoi le système de congruences suivant
x=b²mod(4)
x=b²mod(q)
admet une et une solution x modulo 4q?
c) Si p=b²mod(4q) ou b est un entier impair premier avec q; déduire des
questions a) et b) précédentes que (q/p)=1
d) Si p=-b²mod(4q) ou b est un entier impair premier avec q.
i.Montrer que p=3mod(4) et en déduire la valeur de (-1)puis(p-1)/2
ii.Montrer que (p/q)=(-1/q) et en déduire la valeur de (p/q)
iii. Montrer que (q/p)=1
2) On suppose (q/p)=1.On veut montrer que p=±b²mod(4q) ou b est un entier impair
premier avec q.
a) On suppose que (p/q)=1
i.Montrer que (-1)puis(p-1)/2=1 et en déduire que p=1mod(4)
ii.Montrer qu il existe un entier impair b, premier avec q et tel que p=b²mod(q)
iii.Montrer que p=b²mod(4q) ou b est un entier impair premier avec q
b)On suppose que (p/q)=-1
i.Montrer que (-p/q)=1
ii.Montrer qu il existe un entier impair b, premier avec q et tel que p=b²mod(q)
iii. déduire de (p/q)=-1 et (q/p)=1 que p=-1mod(4)
iv.Montrer qu il existe un entier impair b, premier avec q et tel que p=-b²mod(4)
v.Montrer qu il existe un entier impair b, premier avec q et tel que p=-b²mod(4q).

"nous venons a peine de terminer avec le cours de résidus quadratiques" vous avez appris la loi de réciprocité quadratique? si oui , la question I est facile car (p/q)(q/p) = 1 compte tenu de q=1[4] et p premier impair, il te reste à montrer ou utiliser le cours pour justifier que y est carré[a] équivaut à y^(a-1)/2=1.

du coup IIa aussi!!

[LA solution]

J ai compris I) on applique le petit théorème de Fermat ou bien ?

[LA solution]

Bonjour, DORAKI
vous ne m avez pas repondu

[Doraki]

bonjour. Non pour la I (et le IIa), comme le dit jlb il faut utiliser la loi de réciprocité quadratique qui est certainement dans ton cours.
Et pour le IIb il faut utiliser le théorème des restes chinois (j'suis pas sûr du nom)

[LA solution]

OK , aide moi a faire svp c) et d) de II