Résidu [analyse complexe]

[lndeX]

Bonjour.
J'aimerai avoir un petit éclaircissement sur les résidus:

Je dois calculer les résidus en i et -i d'un fonction f holomorphe sur l'ensemble des nombres complexes privé de i et -i.

f(z) = exp(iz) / (z²+1)

f est ainsi développable en série de Laurent dans V\{i} avec V voisinage de i.

Je montre que pour cette fonction f, la limite lorsque z tend vers i de f(z) est infinie. Donc j'en déduis que i est un pôle pour f.

Ainsi, pour calculer le résidus de f en i, qui est égal au coefficient a (indice -1) de la série de Laurent, mon professeur utilise ceci:

Res(f(z)dz,i) = a (indice -1)
= lim (z -> i) de (z-1)*f(z) (*)

Mais je croyais ce genre de raisonnement (*) n'était possible que lorsque le pôle i etait de multiplicité 1.

Pouvez vous me dire quel est le raisonnement?

Merci

[Joker62]

z^2 + 1 = (z-i)(z+i)

Ici, i est un pôle simple. Donc pas de soucis sur l'application de la formule de ton prof.

[lndeX]

Ok Joker. Ça aurait été un pôle de multiplicité supérieur ou égale à 2, cela n'aurait pas marché alors?

Mais généralement comment fais tu pour déterminer la multiplicité d'un pôle???

[Joker62]

Tu as un théorème fort bien sympathique qui raconte :

Soit h et g deux fonctions holomorphes.
On note Zh et Zg les zéros de h et g respectivement.

Alors la fonction f = h/g est méromorphe et l'ensemble des pôles de f est contenus dans l'ensemble des zéros de g.

En particulier :
Si a est un zéro d'ordre N pour g
Alors :

Si a est aussi un zéro d'ordre M pour h
On a si M >= N que a est un zéro d'ordre M-N pour f (en particulier si M=N, on a une singularité effaçable

Si M
Donc ici le numérateur ne s'annule pas en i, i est un zéro simple du dénominateur car D(i) = O et D'(i) != O où D est le dénominateur
Donc i est un pôle d'ordre 1-0 c'est à dire 1.

C'est comme pour les polynômes en fait :^)

[lndeX]

A entendu !!

Merci beaucoup Joker!

A tantôt